ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 101 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\), а биссектриса угла \(C\) — сторону \(AD\) в точке \(K\). Докажите, что четырехугольник \(AMCK\) — параллелограмм

Чтобы доказать, что четырехугольник APCE является параллелограммом, выполним следующие шаги:

1. Докажем, что прямые AD и BC параллельны и равны:
— В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в середине, поэтому AD || BC и AD = BC.

2. Докажем, что прямые BD и DA являются секущими для прямых AD и BC:
— Так как \(\angle BCP = \angle DAE\), то \(\angle DBC = \angle DAB\) (соответственные углы при параллельных прямых).

3. Докажем, что \(\angle DBC = \angle BDA\):
— Так как \(\angle DBC = \angle DAB\), то \(\angle DBC = \angle BDA\) (вертикальные углы).

4. Докажем, что \(\angle CPE = 180° — \angle BPC\) и \(\angle AEP = 180° — \angle DAE\):
— Так как \(\angle DBC = \angle BDA\), то \(\angle PBC = \angle PDA\) (накрест лежащие углы при параллельных прямых).
— Следовательно, \(\angle CPE = 180° — \angle BPC\) и \(\angle AEP = 180° — \angle DAE\).

5. Докажем, что CP || AE и CP = AE:
— Так как \(\angle CPE = \angle AEP\), то CP || AE.
— Так как \(\angle CPE = 180° — \angle BPC\) и \(\angle AEP = 180° — \angle DAE\), то \(\angle CPE = \angle AEP\), следовательно, CP = AE.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник APCE является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырехугольник APCE является параллелограммом, выполним следующие шаги:

Во-первых, докажем, что прямые AD и BC параллельны и равны. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в середине, поэтому AD || BC и AD = BC.

Затем докажем, что прямые BD и DA являются секущими для прямых AD и BC. Так как \(\angle BCP = \angle DAE\), то \(\angle DBC = \angle DAB\) (соответственные углы при параллельных прямых).

Далее докажем, что \(\angle DBC = \angle BDA\). Так как \(\angle DBC = \angle DAB\), то \(\angle DBC = \angle BDA\) (вертикальные углы).

Следующим шагом докажем, что \(\angle CPE = 180° — \angle BPC\) и \(\angle AEP = 180° — \angle DAE\). Так как \(\angle DBC = \angle BDA\), то \(\angle PBC = \angle PDA\) (накрест лежащие углы при параллельных прямых). Следовательно, \(\angle CPE = 180° — \angle BPC\) и \(\angle AEP = 180° — \angle DAE\).

Наконец, докажем, что CP || AE и CP = AE. Так как \(\angle CPE = \angle AEP\), то CP || AE. Так как \(\angle CPE = 180° — \angle BPC\) и \(\angle AEP = 180° — \angle DAE\), то \(\angle CPE = \angle AEP\), следовательно, CP = AE.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник APCE является параллелограммом.