ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 102 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рисунке 41 четырехугольник \(ABCD\) — параллелограмм, \(\angle BEC = \angle DFA\). Докажите, что четырехугольник \(AECF\) — параллелограмм
1) В параллелограмме ABCD: AD || BC, AD = BC; AB || CD, AB = CD; LB = LD;
2) Рассмотрим ΔEBC и ΔFDA: LEBC = LFDA; LBCE = 180° — LBEC — LEBC; LDAF = 180° — LDFA — LFDA; LBCE = LDAF; ΔEBC = ΔFDA — второй признак; FD = EB;
3) В четырехугольнике AECF: AE = AB — EB; CF = CD — FD; CF = AE, AE || CF; AECF — параллелограмм.
Дано:
— Четырехугольник ABCD является параллелограммом: \(ABCD\) — парал.
— Угол \(\angle BEC\) равен углу \(\angle DFA\): \(\angle BEC = \angle DFA\).
Доказать:
Четырехугольник AECF является параллелограммом.
Решение:
1) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны AB и CD, а также AD и BC параллельны и равны: \(AD \parallel BC, AD = BC\) и \(AB \parallel CD, AB = CD\).
2) Рассмотрим треугольники EBC и FDA. Так как \(\angle BEC = \angle DFA\), то эти треугольники подобны. Следовательно, \(LB = LD\).
3) Рассмотрим четырехугольник EBCF. Так как \(\angle BEC = \angle DFA\), то \(\angle EBC + \angle BEC = 180^\circ\) и \(\angle DFA + \angle AFD = 180^\circ\). Следовательно, \(\angle EBC = \angle AFD\), и четырехугольник EBCF является параллелограммом.
4) Рассмотрим четырехугольник AECF. Так как EBCF — параллелограмм, то \(AE = CF\) и \(EC = AF\). Следовательно, \(AE = CF\) и \(AE \parallel CF\), то есть четырехугольник AECF является параллелограммом.
Таким образом, мы доказали, что четырехугольник AECF является параллелограммом.
