ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 103 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из вершин \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) провели перпендикуляры \(BM\) и \(DK\) к диагонали \(AC\). Докажите, что четырехугольник \(BKDM\) — параллелограмм.

1) В параллелограмме ABCD: AD || BC, AD = BC;
2) Для прямых AD и ВС и секущей АС \(\angle DAC = \angle BCA\);
3) Рассмотрим \(\triangle AKD\) и \(\triangle CMB\): \(\angle AKD = \angle CMD = 90^\circ\); \(\angle DAK = \angle BCM\); \(\triangle AKD \cong \triangle CMB\) — гипотенуза и угол; DK = BM;
4) В четырехугольнике BKDM: BM \(\perp\) AC, DK \(\perp\) AC; следовательно, BM || DK, BM = DK; BKDM — параллелограмм.

Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, BM перпендикулярна AC, DK перпендикулярна AC.

1) Так как ABCD является параллелограммом, то противоположные стороны AB и CD, а также AD и BC, параллельны и равны: AD || BC, AD = BC.

2) Рассмотрим прямые AD и BC, а также секущую AC. Согласно свойству секущих, углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны: \(\angle DAC = \angle BCA\).

3) Далее рассмотрим треугольники AKD и CMB. Так как AD || BC и AD = BC, то \(\triangle AKD\) и \(\triangle CMB\) подобны. Кроме того, \(\angle AKD = \angle CMD = 90^\circ\), так как DK \(\perp\) AC и BM \(\perp\) AC. Таким образом, \(\triangle AKD\) и \(\triangle CMB\) являются прямоугольными и подобными, следовательно, \(\angle DAK = \angle BCM\) и \(\triangle AKD \cong \triangle CMB\) (по гипотенузе и углу). Отсюда следует, что DK = BM.

4) Рассмотрим четырехугольник BKDM. Так как BM \(\perp\) AC, DK \(\perp\) AC и BM = DK, то BKDM является параллелограммом.

Таким образом, доказано, что BKDM является параллелограммом.