ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 104 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектрисы углов \(A\) и \(C\) параллелограмма \(ABCD\) пересекают его диагональ \(BD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Докажите, что четырехугольник \(AECF\) — параллелограмм.

1) В параллелограмме ABCD: AB || CD, AB = CD, ZA = ZC;
2) Для прямых AB и CD и секущей BD: \(\angle ABD = \angle CDB\);
3) Рассмотрим \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDF\): \(\frac{1}{2}ZA = \frac{1}{2}ZC = \angle DCF\), \(\angle ABE = \angle CDF\);
\(\triangle ABE = \triangle CDF\) — второй признак; AE = CF, BE = DF;
4) Рассмотрим \(\triangle ABF\) и \(\triangle CDE\): BF = BD — DF = BD — BE = DE, \(\angle ABF = \angle CDE\);
\(\triangle ABF = \triangle CDE\) — первый признак; AF = CE;
5) В четырехугольнике AECF: AE = CF, AF = CE;
AECF — параллелограмм.

Дано:
— Четырехугольник ABCD является параллелограммом.
— Отрезок AE является биссектрисой угла ZAC.
— Отрезок CF является биссектрисой угла ZC.

Доказать, что четырехугольник AECF также является параллелограммом.

Решение:

1) Так как ABCD является параллелограммом, то AB || CD и AB = CD.
2) Так как AE является биссектрисой угла ZAC, то \(\angle ZAE = \angle ZAC/2\).
3) Так как CF является биссектрисой угла ZC, то \(\angle ZCF = \angle ZC/2\).
4) Рассмотрим треугольники ABE и CDF:
— \(\angle ABE = \angle ZAE = \angle ZAC/2\)
— \(\angle CDF = \angle ZCF = \angle ZC/2\)
— Так как AB = CD, то \(\triangle ABE \cong \triangle CDF\) по второму признаку равенства треугольников.
— Следовательно, AE = CF и BE = DF.
5) Рассмотрим треугольники ABF и CDE:
— \(\angle ABF = \angle ZAB/2 = \angle ZCD/2 = \angle CDE\)
— Так как AB = CD, то \(\triangle ABF \cong \triangle CDE\) по первому признаку равенства треугольников.
— Следовательно, AF = CE и BF = DE.
6) Таким образом, в четырехугольнике AECF:
— Противоположные стороны равны: AE = CF и AB = CD
— Противоположные углы равны: \(\angle AEC = \angle AFE\) и \(\angle AEF = \angle ACF\)
Следовательно, четырехугольник AECF является параллелограммом.