ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 105 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через середину \(O\) диагонали \(NP\) параллелограмма \(MNKP\) проведена прямая, пересекающая стороны \(MN\) и \(KP\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Докажите, что четырехугольник \(ANBP\) — параллелограмм.

1) В параллелограмме MNKP: MN || KP, NO = OP;
2) Для прямых MN и KP и секущей NP: \(\angle MNP = 2 \angle KPN\);
3) Рассмотрим \(\triangle ANO\) и \(\triangle BPO\): \(\angle AON = \angle BOP\) — вертикальные; \(\angle ANO = \angle BPO\); \(\triangle ANO = \triangle BPO\) — второй признак; AO = OB;
4) В четырехугольнике ANBP: NO = OP, AO = OB; ANBP — параллелограмм.

Дано: Параллелограмм MNKP, где NO = OP. Требуется доказать, что ANBP — параллелограмм.

1) Рассмотрим параллелограмм MNKP. Так как MNKP — параллелограмм, то стороны MN и KP параллельны, то есть MN || KP. Также, поскольку NO = OP, то прямые MN и KP пересекаются в точке O.

2) Рассмотрим прямые MN, KP и секущую NP. Так как MN и KP параллельны, то \(\angle MNP = \angle KPN\). Но так как прямые пересекаются, то \(\angle MNP + \angle KPN = 180^\circ\). Следовательно, \(\angle MNP = \angle KPN = 90^\circ\), то есть \(\angle MNP = 2 \angle KPN\).

3) Рассмотрим треугольники ANO и BPO. Так как \(\angle AON = \angle BOP\) (вертикальные углы), \(\angle ANO = \angle BPO\) (накрест лежащие углы при параллельных прямых), и \(AO = OB\) (доказано в пункте 1), то \(\triangle ANO \cong \triangle BPO\) по второму признаку равенства треугольников.

4) Так как \(NO = OP\) и \(AO = OB\), то четырехугольник ANBP является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ANBP является параллелограммом.