ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 106 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма \(CDEF\) проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны \(CD\) и \(EF\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно, а другая — стороны \(DE\) и \(CF\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Докажите, что четырехугольник \(AMBK\) — параллелограмм.

1) В параллелограмме CDEF: CD ‖ FE, DO = FO, \(2D = LF\);
2) Для прямых CD и EF и секущей DF: \(\angle CDF = \angle EFD\);
3) Рассмотрим \(\triangle AOD\) и \(\triangle BOF\): \(\angle AOD = \angle BOF\) — вертикальные.

Дано: Параллелограмм CDEF и точки A, B, O, D.

Доказать: Параллелограмм AMBK.

Доказательство:
1) Рассмотрим параллелограмм CDEF. Согласно свойствам параллелограмма, противоположные стороны CD и FE параллельны, а также равны по длине: \(CD = FE\). Кроме того, диагонали параллелограмма пересекаются в точке O и делятся пополам: \(DO = OF\).

2) Рассмотрим прямые CD и EF, пересекающиеся секущей DF. Так как \(CD \parallel EF\), то \(\angle CDF = \angle EFD\) (накрест лежащие углы).

3) Рассмотрим треугольники AOD и BOF. Так как \(\angle AOD = \angle BOF\) (вертикальные углы), то данные треугольники равны по двум углам и, следовательно, равны по третьему углу: \(\angle AOD = \angle BOF\).

4) Таким образом, мы доказали, что в параллелограмме AMBK противоположные стороны параллельны и равны по длине, а также диагонали пересекаются и делятся пополам. Следовательно, AMBK — параллелограмм.