ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 107 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(M\), \(N\), \(K\) и \(P\) — середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) соответственно. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются точки пересечения прямых \(AN\), \(BK\), \(CP\) и \(DM\), — параллелограмм

Решение:
1) В параллелограмме ABCD: \(AB = CD, BC = AD; \angle A = \angle C, \angle B = \angle D\)
2) Рассмотрим \(\triangle KCB\) и \(\triangle MAD\): \(MA = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = KC\), \(\angle MAD = \angle KCB\)
3) В четырехугольнике MBKD: \(MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = KD\), \(MD = BK\), MBKD — параллелограмм, \(MD \parallel BK\)
4) Рассмотрим \(\triangle ABN\) и \(\triangle CDP\): \(BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD = DP\), \(\angle ABN = \angle CDP\), \(\triangle ABN = \triangle CDP — \) первый признак
5) В четырехугольнике ANCP: \(AP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = NC\), \(AN = CP\), ANCP — параллелограмм, \(AN \parallel CP\)
6) В четырехугольнике EFGH: \(EH \parallel FG, EF \parallel GH\), EFGH — параллелограмм.

Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, \(AM = MB\), \(BN = NC\), \(CK = KD\), \(AP = PD\). Доказать, что четырехугольник EFGH также является параллелограммом.

Решение:
1) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Из определения параллелограмма следует, что \(AB = CD\) и \(BC = AD\). Также известно, что \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\), так как в параллелограмме противоположные углы равны.

2) Рассмотрим треугольники KCB и MAD. Из условия \(AM = MB\) следует, что \(MA = \frac{1}{2}AB\). Также из определения параллелограмма \(\angle KCB = \angle MAD\). Таким образом, по первому признаку равенства треугольников, \(\triangle KCB \cong \triangle MAD\), и, следовательно, \(KC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD\).

3) Рассмотрим четырехугольник MBKD. Из пункта 2 следует, что \(MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = KD\). Также известно, что \(MD = BK\). Таким образом, четырехугольник MBKD является параллелограммом, и \(MD \parallel BK\).

4) Рассмотрим треугольники ABN и CDP. Из условия \(BN = NC\) следует, что \(BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD = DP\). Кроме того, \(\angle ABN = \angle CDP\) (так как они являются соответственными углами в параллелограмме ABCD). Таким образом, по первому признаку равенства треугольников, \(\triangle ABN \cong \triangle CDP\), и, следовательно, \(\angle ABN = \angle CDP\).

5) Рассмотрим четырехугольник ANCP. Из пункта 4 следует, что \(AP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = NC\) и \(AN = CP\). Таким образом, четырехугольник ANCP является параллелограммом, и \(AN \parallel CP\).

6) Рассмотрим четырехугольник EFGH. Из определения параллелограмма следует, что \(EH \parallel FG\) и \(EF \parallel GH\). Таким образом, четырехугольник EFGH также является параллелограммом.

Вывод: Доказано, что четырехугольник EFGH является параллелограммом.