ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 108 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямые, на которых лежат биссектрисы \(AK\) и \(BM\) треугольника \(ABC\), пересекаются под углом \(74^\circ\). Найдите угол \(C\).

1) Сумма смежных углов: \(\angle AOB + \angle AOM = 180°\); \(\angle AOB + 74° = 180°\); \(\angle AOB = 106°\);
2) В треугольнике AOB: \(\frac{1}{2}A + \frac{1}{2}B + 106° = 180°\); \(\frac{1}{2}(A + 2B) = 74°\); \(A + 2B = 148°\);
3) В треугольнике ABC: \(A + B + C = 180°\); \(148° + C = 180°\); \(C = 32°\).
Ответ: 32°.

Дано:
— Угол \(\angle AOM = 74°\)
— Отрезок \(AK\) является биссектрисой угла \(\angle A\)
— Отрезок \(BM\) является биссектрисой угла \(\angle B\)

Решение:
1) Найдем величину угла \(\angle AOB\). Поскольку \(\angle AOM + \angle AOB = 180°\), то \(\angle AOB = 180° — 74° = 106°\).

2) Рассмотрим треугольник \(AOB\). Сумма углов треугольника равна \(180°\), поэтому \(\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180°\). Заменим \(\angle AOB\) на \(106°\), тогда получим: \(106° + \angle OAB + \angle OBA = 180°\). Разделив обе части на 2, получим: \(\frac{1}{2}\angle OAB + \frac{1}{2}\angle OBA = 37°\). Таким образом, \(\frac{1}{2}(A + 2B) = 74°\), где \(A = \angle AOB\) и \(B = \angle OAB\). Отсюда следует, что \(A + 2B = 148°\).

3) Рассмотрим теперь треугольник \(ABC\). Сумма углов треугольника равна \(180°\), поэтому \(\angle A + \angle B + \angle C = 180°\). Подставляя известные значения, получим: \(A + B + C = 180°\). Учитывая, что \(A + 2B = 148°\), можно записать: \(148° + C = 180°\), откуда \(C = 32°\).

Ответ: \(C = 32°\).