ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 112 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что четырехугольник, все углы которого прямые, является прямоугольником.

Дано:
\(\angle A = \angle B = 90^\circ\);
\(\angle C = \angle D = 90^\circ\).

Доказать:
\(ABCD\) — прямоугольник.

Решение:
В четырёхугольнике \(ABCD\):
\(AD \perp DC\), \(BC \perp DC\), \(AD \parallel BC\);
\(AB \perp AD\), \(DC \perp AD\), \(AB \parallel DC\);
\(ABCD\) — параллелограмм;
\(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\);
\(ABCD\) — прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

Дано:
\(\angle A = \angle B = 90^\circ\);
\(\angle C = \angle D = 90^\circ\).

Доказать:
\(ABCD\) — прямоугольник.

Решение:
Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\). По условию, все его углы прямые:
\(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\).

Докажем, что \(ABCD\) является прямоугольником.

1. По определению, прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Проверим, что \(ABCD\) является параллелограммом.

2. Рассмотрим стороны \(AD\) и \(BC\). По условию, \(AD \perp DC\) и \(BC \perp DC\). Это означает, что \(AD \parallel BC\), так как обе стороны перпендикулярны одной и той же стороне \(DC\).

3. Аналогично, рассмотрим стороны \(AB\) и \(DC\). По условию, \(AB \perp AD\) и \(DC \perp AD\). Это означает, что \(AB \parallel DC\), так как обе стороны перпендикулярны одной и той же стороне \(AD\).

4. Таким образом, в четырёхугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно параллельны:
\(AD \parallel BC\) и \(AB \parallel DC\).
Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

5. В параллелограмме \(ABCD\) все углы равны \(90^\circ\):
\(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\).

6. По определению, параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником.

Следовательно, \(ABCD\) — прямоугольник.

Что и требовалось доказать.