ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 116 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, а меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Краткий ответ:

1) В прямоугольнике ABCD: AC = BD, AO = OC, BO = OD; AO = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)BD = BO; A0 = BO = CO = DO;
2) ΔAOD равнобедренный: ∠AOD = ∠ODA; ∠AOD + ∠ODA + ∠AOD = 180°; ∠AOD + ∠OAD + 60° = 180°; 2∠AOD = 120°, ∠AOD = 60°; ΔAOD — равносторонний: AO = AD = 8;
3) В прямоугольнике ABCD: AC = 2AO = 16.
Ответ: 16 см.

Подробный ответ:

Дано:
— Прямоугольник ABCD
— ∠AOD = 60°
— AD = 8 см

Найти: AC

Решение:

1) Из условия задачи известно, что ABCD — прямоугольник. Это означает, что противоположные стороны прямоугольника равны: AC = BD.

2) Также известно, что ∠AOD = 60°. Так как ΔAOD является равнобедренным треугольником (AO = OD), то ∠AOD = ∠ODA = 60°.

3) Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: ∠AOD + ∠ODA + ∠AOD = 180°. Подставляя известные углы, получаем: 60° + 60° + ∠AOD = 180°, откуда ∠AOD = 60°.

4) Так как ΔAOD является равносторонним треугольником, то AO = OD = AD = 8 см.

5) В прямоугольнике ABCD, AO = \(\frac{1}{2}\)AC и BO = \(\frac{1}{2}\)BD. Следовательно, AO = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)BD = BO.

6) Таким образом, AC = 2AO = 2 · 8 = 16 см.

Ответ: AC = 16 см.

Оцени решение