ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 117 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На диагонали АС прямоугольника ABCD отложены равные отрезки АМ и СК (точка М лежит между точками А и К). До- кажите, что четырехугольник BKDM — параллелограмм, от- личный от прямоугольника.

1) В прямоугольнике ABCD: AC = BD, AD = BC, AD ⊥ BC.
2) Для прямых AD и ВС и секущей АС: ∠DAC = ∠BCA.
3) Рассмотрим △AMD и △CKB: ∠DAM = ∠BCK; ∠AMD = ∠CKB — первый признак; MD = BK, ∠AMD = ∠CKB.
4) Для прямых MD и ВК и секущей МК: ∠DMK = 180° — ∠AMD; ∠BKM = 180° — ∠CKB; ∠DMK = ∠BKM; MD ⊥ BK.
5) В четырехугольнике BKDM: MD = BK, MD ⊥ BK; BKDM — параллелограмм; MK < AC, MK ≠ BD.

Дано:
Четырехугольник ABCD является прямоугольником, и AM = CK.

Доказать:
Четырехугольник BKDM является параллелограммом.

Решение:
1) Так как ABCD является прямоугольником, то AC = BD и AD = BC, а также AD ⊥ BC.

2) Рассмотрим прямые AD и BC, а также секущую AC. Так как ABCD является прямоугольником, то углы ∠DAC и ∠BCA равны, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AD и BC, пересекаемых секущей AC: ∠DAC = ∠BCA.

3) Рассмотрим треугольники AMD и CKB. Так как AM = CK, то ∠DAM = ∠BCK. Кроме того, ∠AMD = ∠CKB, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых AD и BC, пересекаемых секущей AC. Таким образом, треугольники AMD и CKB подобны по первому признаку подобия треугольников, и MD = BK.

4) Рассмотрим прямые MD и BK, а также секущую MK. Так как MD = BK, то ∠DMK = 180° — ∠AMD и ∠BKM = 180° — ∠CKB. Следовательно, ∠DMK = ∠BKM, и MD ⊥ BK.

5) Таким образом, в четырехугольнике BKDM выполняются следующие условия: MD = BK, MD ⊥ BK. Следовательно, BKDM является параллелограммом.