ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 118 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На продолжении диагонали BD прямоугольника ABCD за точку В отметили точку Е, а на продолжении за точку D — точку F так, что BE = DF. Докажите, что четырехугольник AECF — параллелограмм, отличный от прямоугольника.

1) В прямоугольнике ABCD: AC = BD, AB = CD, AB ⊥ CD;
2) Для прямых AB и CD и секущей BD: ∠BDC = ∠DBA;
3) Рассмотрим ΔDCE и ΔBAF: DE = DB + BE = DB + DF = BF; ∠EDC = ∠FBA; ΔDCE ≅ ΔBAF — первый признак;
CE = AF, ∠CED = ∠AFB;
4) Для прямых AF и CE и секущей FE: ∠CEF = ∠AFE; AF ⊥ CE;
5) В четырехугольнике AECF: AF = CE, AF ⊥ CE; AECF — параллелограмм; EF > BD, EF ≠ AC.

Дано: четырехугольник ABCD является прямоугольником, BE = DF.

Доказать: четырехугольник AECF является параллелограммом.

Доказательство:
1) Так как ABCD — прямоугольник, то AC = BD и AB = CD, а также AB ⊥ CD. Это следует из определения прямоугольника.

2) Рассмотрим прямые AB и CD, а также секущую BD. Так как углы при параллельных прямых равны, то ∠BDC = ∠DBA.

3) Рассмотрим треугольники ΔDCE и ΔBAF:
— DE = DB + BE = DB + DF = BF (по условию BE = DF)
— ∠EDC = ∠FBA (так как углы при параллельных прямых равны)
— Таким образом, ΔDCE ≅ ΔBAF по первому признаку равенства треугольников (SAS)
— Следовательно, CE = AF и ∠CED = ∠AFB.

4) Рассмотрим прямые AF и CE, а также секущую FE:
— ∠CEF = ∠AFE (так как углы при параллельных прямых равны)
— AF ⊥ CE (так как накрест лежащие углы равны)

5) Таким образом, в четырехугольнике AECF выполняются следующие условия:
— AF = CE (доказано в п.3)
— AF ⊥ CE (доказано в п.4)
Следовательно, AECF является параллелограммом.

Также известно, что EF > BD и EF ≠ AC, что следует из построения.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник AECF является параллелограммом.