ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 119 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка М — середина стороны ВС прямоугольника ABCD, МА 1 MD, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.
1) В прямоугольнике ABCD: AB = CD, BC = AD; \(\angle A = \angle B = \angle C = 90^\circ\);
2) В прямоугольном треугольнике ΔAB и ΔDC: \(\angle ABM = \angle DCM = 90^\circ\); ΔAB и ΔDC — два катета; AM = MD;
3) В равнобедренном треугольнике ΔAMD: \(\angle MAD = \angle MDA\); \(\angle MAD + 2\angle MDA + \angle AMD = 180^\circ\); \(\angle MAD + 2\angle MAD + 90^\circ = 180^\circ\); \(2\angle MAD = 90^\circ\), \(\angle MAD = 45^\circ\);
4) В прямоугольном треугольнике ΔABM: \(\angle BAM = \angle BAD — \angle MAD\); \(\angle BAM = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\); \(\angle BMA = 90^\circ — 2\angle BAM = 45^\circ\); ΔABM — равнобедренный; AB = BM;
5) В прямоугольнике ABCD: BC = 2BM = 2AB; \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\); \(36 = AB + 2AB + AB + 2AB\); \(6AB = 36\), AB = 6; BC = 2⋅6 = 12.
Ответ: 6 см, 12 см.
Дано:
— Четырехугольник ABCD является прямоугольником.
— Точка M делит сторону AD пополам, то есть AM = MD.
— Точка B является серединой стороны AC, то есть BM = MC.
— Периметр четырехугольника ABCD равен 36 см.
Найти: AB, BC, CD, AD.
Шаг 1. Рассмотрим прямоугольник ABCD.
Так как ABCD — прямоугольник, то противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD.
Шаг 2. Рассмотрим треугольники ΔAB и ΔDC.
Так как точка M делит сторону AD пополам, то AM = MD. Также, так как точка B является серединой стороны AC, то BM = MC. Следовательно, ΔAB и ΔDC — прямоугольные треугольники с общим катетом AM = MD.
Шаг 3. Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔAMD.
Так как AM = MD, то треугольник ΔAMD является равнобедренным. Следовательно, \(\angle MAD = \angle MDA\). Кроме того, сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle MAD + 2\angle MDA = 180^\circ\). Так как ΔAB и ΔDC — прямоугольные треугольники, то \(\angle MAD + 2\angle MAD + 90^\circ = 180^\circ\). Отсюда \(2\angle MAD = 90^\circ\), и \(\angle MAD = 45^\circ\).
Шаг 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABM.
Так как ΔABM — прямоугольный треугольник, то \(\angle BAM = \angle BAD — \angle MAD\). Следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\). Также \(\angle BMA = 90^\circ — 2\angle BAM = 45^\circ\). Таким образом, ΔABM является равнобедренным треугольником, и AB = BM.
Шаг 5. Рассмотрим прямоугольник ABCD.
Так как BC = 2BM = 2AB, то BC = 2AB. Периметр прямоугольника ABCD равен сумме его сторон: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\). Подставляя известные значения, получаем: \(36 = AB + 2AB + AB + 2AB\). Отсюда \(6AB = 36\), и AB = 6. Следовательно, BC = 2 * 6 = 12.
Ответ: AB = 6 см, BC = 12 см, CD = 6 см, AD = 12 см.
