ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите углы четырехугольника, если три его угла пропорциональны числам \(4\), \(5\) и \(7\), а четвертый угол равен их полусумме. Является ли этот четырехугольник выпуклым?

Краткий ответ:

1) Из первого равенства следует: \(Lb = \frac{5}{4}La, Lc = \frac{7}{4}La\)
2) Из второго равенства следует: \(Ld = \frac{1}{2}(La + \frac{5}{4}La + \frac{7}{4}La) = \frac{1}{2}(2\frac{16}{4}La) = 2La\)
3) Сумма углов четырехугольника: \(La + Lb + Lc + Ld = 360°\), откуда \(La + \frac{5}{4}La + \frac{7}{4}La + 2La = 360°\), \(6La = 360°\), \(La = 60°\). Тогда \(Lb = \frac{5}{4}60° = 75°\), \(Lc = \frac{7}{4}60° = 105°\), \(Ld = 2\cdot60° = 120°\).

Ответ: 60°, 75°, 105°, 120°.

Подробный ответ:

Дано:
— Углы четырехугольника обозначены как a, b, c, d.
— Соотношение между углами: \(La : Lb : Lc = 4 : 5 : 7\)
— Формула для вычисления диагонали: \(Ld = \frac{1}{2}(La + Lb + Lc)\)

Шаг 1. Найдем значение угла Lb из первого соотношения:
\(La : Lb : Lc = 4 : 5 : 7\)
\(Lb = \frac{5}{4}La\)

Шаг 2. Найдем значение угла Lc из первого соотношения:
\(La : Lb : Lc = 4 : 5 : 7\)
\(Lc = \frac{7}{4}La\)

Шаг 3. Вычислим значение диагонали Ld по формуле:
\(Ld = \frac{1}{2}(La + Lb + Lc)\)
\(Ld = \frac{1}{2}(La + \frac{5}{4}La + \frac{7}{4}La)\)
\(Ld = \frac{1}{2}(2\frac{16}{4}La)\)
\(Ld = 2La\)

Шаг 4. Найдем сумму углов четырехугольника:
\(La + Lb + Lc + Ld = 360°\)
\(La + \frac{5}{4}La + \frac{7}{4}La + 2La = 360°\)
\(6La = 360°\)
\(La = 60°\)

Шаг 5. Вычислим значения остальных углов:
\(Lb = \frac{5}{4}60° = 75°\)
\(Lc = \frac{7}{4}60° = 105°\)
\(Ld = 2\cdot60° = 120°\)

Таким образом, ответ: 60°, 75°, 105°, 120°.

Оцени решение