ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 120 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника ABCD равен 30 см. Биссектрисы углов А и D пересекаются в точке М, принадлежащей стороне ВС. Найдите стороны прямоугольника

1) В прямоугольнике ABCD: AB = CD, BC = AD; \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\).
2) В равнобедренном треугольнике AMD: \(\angle MAD = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}D = \angle AMD\).
3) В прямоугольном треугольнике ABM: \(\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A = 45^\circ\), \(\angle BMA = 90^\circ — \angle BAM = 45^\circ\), AB = BM.
4) В прямоугольнике ABCD: BC = 2AB, \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\), 30 = AB + 2AB + AB + 2AB, AB = 5, BC = 2 \cdot 5 = 10.
Ответ: 5 см, 10 см.

Дано: Прямоугольник ABCD, AM — биссектриса угла A, DM — биссектриса угла D, периметр прямоугольника PABCD = 30 см.

1) Рассмотрим прямоугольник ABCD:
— Поскольку ABCD — прямоугольник, то AB = CD и BC = AD.
— Углы A, B, C и D в прямоугольнике равны \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\).

2) Рассмотрим треугольник AMD:
— Так как AM и DM являются биссектрисами углов A и D соответственно, то \(\angle MAD = \frac{1}{2}\angle A\) и \(\angle AMD = \frac{1}{2}\angle D\).
— Поскольку прямоугольник ABCD, то \(\angle A = \angle D = 90^\circ\), следовательно, \(\angle MAD = \frac{1}{2}\cdot 90^\circ = 45^\circ\) и \(\angle AMD = \frac{1}{2}\cdot 90^\circ = 45^\circ\).
— Таким образом, треугольник AMD является равнобедренным.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM:
— Так как AM является биссектрисой угла A, то \(\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A = 45^\circ\).
— Поскольку треугольник ABM прямоугольный, то \(\angle BMA = 90^\circ — \angle BAM = 45^\circ\).
— Следовательно, AB = BM.

4) Рассмотрим прямоугольник ABCD:
— Так как BC = 2AB, то периметр прямоугольника ABCD равен \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\).
— Из условия \(P_{ABCD} = 30\) см, получаем \(30 = AB + 2AB + AB + 2AB\).
— Решая это уравнение, находим, что AB = 5 см и BC = 2AB = 10 см.

Ответ: AB = 5 см, BC = 10 см.