ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 121 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник ABCD построен так, что две его вершины А и D принадлежат гипотенузе, а две другие — кате- там данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если АВ : ВС = 3 : 5.

Краткий ответ:

1) В равнобедренном треугольнике AMN: \(∠M = ∠K\);
\(∠M + ∠N + ∠K = 180°\); \(∠M + 90° + ∠M = 180°\); \(2∠M = 90°\), \(∠M = 45°\);
2) В прямоугольном треугольнике BAM: \(∠M + ∠B = 90°\); \(45° + ∠B = 90°\); \(∠B = 45°\); \(ΔBAM\) — равнобедренный; \(BA = MA\);
3) В прямоугольном треугольнике CDK: \(∠C + ∠K = 90°\); \(∠C + 45° = 90°\); \(∠C = 45°\); \(ΔCDK\) — равнобедренный; \(CD = DK\);
4) В прямоугольнике ABCD: \(AB = CD\), \(AD = BC\); \(AB = \frac{3}{5}BC = 0,6AD\); \(MA + AD + DK = MK\); \(AB + AD + CD = 55\); \(0,6AD + AD + 0,6AD = 55\); \(2,2AD = 55\), \(AD = 25\); \(AB = 0,6 \cdot 25 = 15\).
Ответ: 15 см; 25 см.

Подробный ответ:

Дано:
— Треугольник AMN является равнобедренным: \(∠M = ∠K\)
— Четырехугольник ABCD является прямоугольником
— Угол \(∠MNK = 90°\)
— Длина отрезка МК равна 55 см
— Отношение длин сторон AB и BC равно 3:5

Шаг 1. Найдем величину угла \(∠M\) в равнобедренном треугольнике AMN.
Сумма углов в треугольнике равна \(180°\): \(∠M + ∠N + ∠K = 180°\)
Так как треугольник AMN является равнобедренным, то \(∠M = ∠K\). Подставляя это в уравнение, получаем:
\(2∠M + ∠N = 180°\)
Так как \(∠MNK = 90°\), то \(∠N = 90°\). Подставляя это в уравнение, получаем:
\(2∠M + 90° = 180°\)
Решая это уравнение, находим: \(∠M = 45°\)

Шаг 2. Найдем величину угла \(∠B\) в прямоугольном треугольнике BAM.
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна \(90°\): \(∠M + ∠B = 90°\)
Подставляя \(∠M = 45°\), получаем:
\(45° + ∠B = 90°\)
Решая это уравнение, находим: \(∠B = 45°\)
Так как треугольник BAM является равнобедренным, то \(BA = MA\).

Шаг 3. Найдем величину угла \(∠C\) в прямоугольном треугольнике CDK.
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна \(90°\): \(∠C + ∠K = 90°\)
Так как \(∠MNK = 90°\), то \(∠K = 90°\). Подставляя это в уравнение, получаем:
\(∠C + 90° = 90°\)
Решая это уравнение, находим: \(∠C = 45°\)
Так как треугольник CDK является равнобедренным, то \(CD = DK\).

Шаг 4. Найдем длины сторон прямоугольника ABCD.
Известно, что отношение длин сторон AB и BC равно 3:5, то есть \(AB = \frac{3}{5}BC\).
Также известно, что \(AB = CD\) и \(AD = BC\), так как ABCD является прямоугольником.
Таким образом, \(AB = \frac{3}{5}BC = 0,6AD\).
Кроме того, \(MA + AD + DK = MK\), то есть \(MA + AD + DK = 55\).
Подставляя \(BA = 0,6AD\), получаем:
\(0,6AD + AD + DK = 55\)
Решая это уравнение, находим: \(AD = 25\).
Тогда \(AB = 0,6 \cdot 25 = 15\).

Ответ: AB = 15 см, BC = 25 см.

Оцени решение