ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 122 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В треугольнике ABC известно, что \(ZC = 90^\circ\), \(AC = BC = 6\) см. Прямоугольник CMKN построен так, что точка М принадлежит катету АС, точка N — катету ВС, а точка К — гипотенузе ЛВ. Найдите периметр прямоугольника CMKN.

Краткий ответ:

Решение:
1) ΔАСВ — равнобедренный: \(LA = LB\); \(LA + 2B + LC = 180°\); \(2A = 90°\), \(LA = 45°\);
2) В прямоугольном ΔАМК: \(LA + LK = 90°\); \(45° + LK = 90°\); \(LK = 45°\); ΔАМК — равнобедренный; \(MK = AM\);
3) В прямоугольном ΔВNК: \(LB + LK = 90°\); \(45° + LK = 90°\); \(LK = 45°\); ΔВNК — равнобедренный; \(NK = BN\);
4) В прямоугольнике СMКN: \(P_{CMKN} = CM + MK + KN + CN\); \(P_{CMKN} = CM + AM + BN + CN\); \(P_{CMKN} = AC + BC = 6 + 6 = 12\);
Ответ: 12 см.

Подробный ответ:

Решение:
Дано:
— В треугольнике ABC: \(LC = 90°\), \(AC = BC = 6\) см.
— Прямоугольник CMKN построен так, что:
— Точка M принадлежит катету AC
— Точка N принадлежит катету BC
— Точка K принадлежит гипотенузе AB

Шаг 1: Найдем угол LAB в треугольнике ABC.
Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\(AB = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}\) см

По теореме косинусов:
\(\cos LAB = \frac{AC^2 + BC^2 — AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}\)
\(\cos LAB = \frac{6^2 + 6^2 — (6\sqrt{2})^2}{2 \cdot 6 \cdot 6}\)
\(\cos LAB = \frac{72 — 72}{72}\)
\(\cos LAB = 0\)
\(LAB = 90°\)

Шаг 2: Найдем длины сторон прямоугольника CMKN.
Так как точка M принадлежит катету AC, то \(CM = 6 — x\), где x — расстояние от точки M до точки A.
Так как точка N принадлежит катету BC, то \(BN = 6 — y\), где y — расстояние от точки N до точки B.
Так как точка K принадлежит гипотенузе AB, то \(AK = x\) и \(KB = y\).

Шаг 3: Найдем периметр прямоугольника CMKN.
Периметр прямоугольника CMKN равен сумме длин его сторон:
\(P_{CMKN} = CM + MK + KN + CN\)
\(P_{CMKN} = (6 — x) + x + (6 — y) + y\)
\(P_{CMKN} = 6 + 6 = 12\) см

Ответ: Периметр прямоугольника CMKN равен 12 см.

Оцени решение