ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 123 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

1) В треугольнике АОВ: \(\angle AOB = \angle OAB\); \(OA = OB\), следовательно, \(\triangle AOB\) — равнобедренный.
2) В параллелограмме ABCD: \(AO = OC\), \(BO = OD\); \(AO + OC = BO + OD\), следовательно, \(AC = BD\), и ABCD — прямоугольник.

Дано:
— Четырехугольник ABCD является параллелограммом.
— Углы CAB и DBA равны.

Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник AOB. Так как углы CAB и DBA равны, то \(\angle AOB = 2 \cdot \angle CAB\). Это значит, что треугольник AOB является равнобедренным, то есть \(OA = OB\).

2) Так как четырехугольник ABCD является параллелограммом, то противоположные стороны AB и CD, а также AC и BD параллельны. Кроме того, \(AO = OC\) и \(BO = OD\), так как точка O является серединой диагоналей параллелограмма.

3) Поскольку \(AO = OC\) и \(BO = OD\), то \(AO + OC = BO + OD\), что означает, что диагонали AC и BD равны. Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Таким образом, мы доказали, что если четырехугольник ABCD является параллелограммом, и углы CAB и DBA равны, то этот четырехугольник является прямоугольником.