ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 129 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма, у которого соседние стороны не равны, пересекаясь, образуют прямоугольник.

1) В параллелограмме ABCD: \(\angle A + 2\angle B = 180°\), \(\angle C + 2\angle D = 180°\), \(\angle A + 2\angle D = 180°\);
2) В треугольнике АВЕ: \(\angle BAE + \angle ABE + \angle AEB = 180°\), \(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AEB = 180°\);
3) В треугольнике CKD: \(\angle KCD + 2\angle CDK + \angle CKD = 180°\), \(\frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle D + 2\angle CKD = 180°\);
4) В треугольнике AMD: \(\angle MAD + \angle MDA + \angle AMD = 180°\), \(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle D + \angle AMD = 180°\);
5) В четырехугольнике EMKN: \(\angle E + 2\angle M + 2\angle K + 2\angle N = 360°\), \(90° + 90° + 90° + 2\angle N = 360°\), \(2\angle N = \angle E = 2\angle M = 2\angle K = 90°\), EMKN — прямоугольник.

Дано:
— Четырехугольник ABCD является параллелограммом.
— Точки A’, B’, C’, D’ — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.
— Необходимо доказать, что четырехугольник EMKN является прямоугольником.

Решение:

1) Докажем, что в параллелограмме ABCD противоположные углы равны 180°:
\(\angle A + \angle B = 180°\)
\(\angle C + \angle D = 180°\)
\(\angle A + \angle D = 180°\)

Это следует из определения параллелограмма, где противоположные стороны параллельны и равны.

2) Рассмотрим треугольник ABE:
\(\angle BAE + \angle ABE + \angle AEB = 180°\)
Так как точка E является серединой стороны AB, то \(\angle BAE = \frac{1}{2}\angle A\) и \(\angle ABE = \frac{1}{2}\angle B\).
Подставляя эти выражения, получаем:
\(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AEB = 180°\)

3) Аналогично рассмотрим треугольники CKD, AMD:
\(\angle KCD + 2\angle CDK + \angle CKD = 180°\)
\(\frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle D + 2\angle CKD = 180°\)

\(\angle MAD + \angle MDA + \angle AMD = 180°\)
\(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle D + \angle AMD = 180°\)

4) Теперь рассмотрим четырехугольник EMKN:
\(\angle E + 2\angle M + 2\angle K + 2\angle N = 360°\)
Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то:
\(90° + 90° + 90° + 2\angle N = 360°\)
Следовательно, \(2\angle N = \angle E = 2\angle M = 2\angle K = 90°\)

Таким образом, четырехугольник EMKN является прямоугольником, так как все его углы равны 90°.