ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 135 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На плоскости отметили 1000 точек. Докажите, что существует прямая, относительно которой в каждой полуплоскости лежат по 500 точек.

Через каждые две точки проведем прямую. Проведем еще одну прямую, не параллельную ни одной из них, так, чтобы все точки лежали в одной полуплоскости относительно нее. Данную прямую можно постепенно смещать, чтобы только одна из точек оказалась в другой полуплоскости. Таким образом, существует положение прямой, при котором в каждой полуплоскости содержится ровно 500 точек. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачу о 1000 точках, расположенных на плоскости. Требуется доказать, что существует такая прямая, относительно которой в каждой из полуплоскостей лежит ровно по 500 точек.

Пошаговое решение:

Пусть на плоскости задано 1000 точек. Для удобства будем считать, что никакие три точки не лежат на одной прямой (в противном случае можно слегка сместить одну из точек, не изменяя общего результата).

Шаг 1. Через любые две точки из данных 1000 точек проведем прямую. Всего таких прямых будет \( C_{1000}^2 = \frac{1000 \cdot 999}{2} = 499500 \). Эти прямые разбивают плоскость на множество углов и областей.

Шаг 2. Проведем еще одну прямую, которая не параллельна ни одной из уже проведенных прямых. Выберем эту прямую так, чтобы все 1000 точек находились в одной полуплоскости относительно нее. Это всегда возможно, так как точки не лежат на одной прямой.

Шаг 3. Начнем постепенно смещать эту прямую, поворачивая ее вокруг какой-либо точки или параллельно сдвигая, так чтобы точки начали переходить из одной полуплоскости в другую. В процессе такого смещения мы будем следить за количеством точек в каждой полуплоскости.

Шаг 4. При каждом переходе прямой через одну из точек количество точек в полуплоскостях будет изменяться на 1. В начальный момент времени все 1000 точек находятся в одной полуплоскости, а в другой полуплоскости — 0 точек. В процессе смещения прямой точки постепенно переходят из одной полуплоскости в другую. Таким образом, в некоторый момент времени в одной из полуплоскостей окажется ровно 500 точек, а в другой — также 500 точек.

Шаг 5. Положение прямой, при котором в каждой полуплоскости ровно по 500 точек, существует, так как при непрерывном изменении положения прямой количество точек в полуплоскостях меняется от 0 до 1000 (и наоборот), проходя через все промежуточные значения, включая 500.

Что и требовалось доказать.