ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 139 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ \(AC\) ромба \(ABCD\) (рис. 49) образует со стороной \(AD\) угол \(42^\circ\). Найдите все углы ромба.

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle DAC = 42^\circ\). Найти: \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), \(\angle D\).

Рассмотрим ромб \(ABCD\): \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\). Диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(\angle A\).

\(\angle A = 2 \cdot \angle DAC = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ\).

Сумма смежных углов ромба равна \(180^\circ\): \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).

Подставим значение \(\angle A\): \(84^\circ + \angle B = 180^\circ\), откуда \(\angle B = 96^\circ\).

Ответ: \(84^\circ; 96^\circ\).

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle DAC = 42^\circ\). Найти: \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), \(\angle D\).

Рассмотрим ромб \(ABCD\). В ромбе все стороны равны, а противоположные углы равны между собой: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. Диагональ \(AC\) делит угол \(\angle A\) на два равных угла.

Так как \(AC\) — биссектриса угла \(\angle A\), то \(\angle DAC = \angle CAB\). Следовательно, угол \(\angle A\) равен удвоенному углу \(\angle DAC\):
\(\angle A = 2 \cdot \angle DAC = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ\).

Противоположный угол \(\angle C\) равен углу \(\angle A\), так как в ромбе противоположные углы равны:
\(\angle C = \angle A = 84^\circ\).

Сумма смежных углов в ромбе равна \(180^\circ\). Следовательно,
\(\angle A + \angle B = 180^\circ\).

Подставим значение угла \(\angle A\):
\(84^\circ + \angle B = 180^\circ\).

Вычислим угол \(\angle B\):
\(\angle B = 180^\circ — 84^\circ = 96^\circ\).

Противоположный угол \(\angle D\) равен углу \(\angle B\), так как в ромбе противоположные углы равны:
\(\angle D = \angle B = 96^\circ\).

Ответ: \(84^\circ; 96^\circ\).