ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 140 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В ромбе \(ABCD\) известно, что \(\angle C = 140^\circ\), а диагонали пересекаются в точке \(O\). Найдите углы треугольника \(AOB\).

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle C = 140^\circ\). Найти: \(\angle AOB\), \(\angle ABO\), \(\angle BAO\).

Рассмотрим ромб \(ABCD\):
\(\angle A = \angle C = 140^\circ\), \(AC \perp BD\);
\(AC\) — биссектриса \(\angle A\), \(BD\) — биссектриса \(\angle B\);
\(\angle C + \angle B = 180^\circ\);
\(140^\circ + \angle B = 180^\circ\);
\(\angle B = 40^\circ\).

В треугольнике \(AOB\):
\(\angle ABO = \frac{1}{2} \cdot \angle B = 20^\circ\);
\(\angle BAO = \frac{1}{2} \cdot \angle A = 70^\circ\);
\(\angle AOB = 90^\circ\).

Ответ: \(20^\circ\); \(70^\circ\); \(90^\circ\).

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle C = 140^\circ\). Найти: \(\angle AOB\), \(\angle ABO\), \(\angle BAO\).

Так как \(ABCD\) — ромб, его противоположные углы равны. Следовательно, \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\). По условию, \(\angle C = 140^\circ\). Таким образом, \(\angle A = 140^\circ\).

В любом четырёхугольнике сумма всех углов равна \(360^\circ\). Для ромба это можно записать как:
\( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \).
Так как \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\), уравнение примет вид:
\( 2\angle A + 2\angle B = 360^\circ \).

Разделим обе стороны на 2:
\( \angle A + \angle B = 180^\circ \).

Подставим значение \(\angle A = 140^\circ\):
\( 140^\circ + \angle B = 180^\circ \).

Вычислим \(\angle B\):
\( \angle B = 180^\circ — 140^\circ = 40^\circ \).

Теперь рассмотрим треугольник \(AOB\), образованный диагоналями ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то есть \(\angle AOB = 90^\circ\). Кроме того, диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому:
\( \angle ABO = \frac{1}{2} \cdot \angle B \),
\( \angle BAO = \frac{1}{2} \cdot \angle A \).

Подставим известные значения углов:
\( \angle ABO = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ \),
\( \angle BAO = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ \).

Таким образом, в треугольнике \(AOB\):
\( \angle AOB = 90^\circ \),
\( \angle ABO = 20^\circ \),
\( \angle BAO = 70^\circ \).

Ответ: \( \angle AOB = 90^\circ \), \( \angle ABO = 20^\circ \), \( \angle BAO = 70^\circ \).