ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 145 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Углы, которые сторона ромба образует с его диагоналями, относятся как 2 : 7. Найдите углы ромба.

Рассмотрим ромб \(ABCD\): \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\). \(AC\) — биссектриса \(\angle A\), \(BD\) — биссектриса \(\angle D\). По условию, \(\angle DAC : \angle ADB = 2 : 7\).

В прямоугольном \(\triangle AOD\): \(\angle DAO + \angle ADO = 90^\circ\). Пусть \(\angle DAO = 2x\), \(\angle ADO = 7x\). Тогда \(2x + 7x = 90^\circ\), откуда \(x = 10^\circ\).

\(\angle DAO = 2x = 20^\circ\), \(\angle ADO = 7x = 70^\circ\). \(\angle A = 2 \cdot \angle DAO = 40^\circ\), \(\angle D = 2 \cdot \angle ADO = 140^\circ\).

\(\angle B = \angle D = 140^\circ\), \(\angle C = \angle A = 40^\circ\).

Ответ: \(40^\circ\), \(140^\circ\).

Рассмотрим ромб \(ABCD\). В ромбе все стороны равны, а противоположные углы равны. Таким образом, \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\). Также известно, что \(AC\) — биссектриса угла \(\angle A\), а \(BD\) — биссектриса угла \(\angle D\). Это значит, что \(\angle A = 2 \angle DAC\) и \(\angle D = 2 \angle ADB\). По условию, \(\angle DAC : \angle ADB = 2 : 7\).

Поскольку \(AC \perp BD\), рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle AOD\). В этом треугольнике сумма острых углов равна \(90^\circ\), то есть \(\angle DAO + \angle ADO = 90^\circ\).

Из условия \(\angle DAC : \angle ADB = 2 : 7\), можно выразить \(\angle DAO\) и \(\angle ADO\) через переменную \(x\): \(\angle DAO = 2x\) и \(\angle ADO = 7x\). Подставим в уравнение для суммы углов: \(2x + 7x = 90^\circ\). Решая это уравнение, получаем \(9x = 90^\circ\), откуда \(x = 10^\circ\).

Теперь найдем углы \(\angle DAO\) и \(\angle ADO\): \(\angle DAO = 2x = 2 \cdot 10^\circ = 20^\circ\) и \(\angle ADO = 7x = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ\).

Поскольку \(\angle A = 2 \angle DAC\), то \(\angle A = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\).

Аналогично, \(\angle D = 2 \angle ADB\), следовательно, \(\angle D = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ\).

Так как \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\), то \(\angle B = 140^\circ\) и \(\angle C = 40^\circ\).

Ответ: \(\angle A = 40^\circ\), \(\angle B = 140^\circ\), \(\angle C = 40^\circ\), \(\angle D = 140^\circ\).