ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 146 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки М и К — соответственно середины сторон АВ и ВС ромба ABCD. Докажите, что \(MD = KD\).

Рассмотрим ромб \(ABCD\): \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\). \(AC\) — биссектриса \(\angle A\), \(BD\) — биссектриса \(\angle D\). По условию, \(\angle DAC : \angle ADB = 2 : 7\). В прямоугольном \(\triangle AOD\): \(\angle DAO + \angle ADO = 90^\circ\). Пусть \(\angle DAO = 2x\), \(\angle ADO = 7x\). Тогда \(2x + 7x = 90^\circ\), откуда \(x = 10^\circ\). \(\angle DAO = 2x = 20^\circ\), \(\angle ADO = 7x = 70^\circ\). \(\angle A = 2 \cdot \angle DAO = 40^\circ\), \(\angle D = 2 \cdot \angle ADO = 140^\circ\). \(\angle B = \angle D = 140^\circ\), \(\angle C = \angle A = 40^\circ\). Ответ: \(40^\circ\), \(140^\circ\).

Дано: \(ABCD\) — ромб; \(AM = MB\), \(BK = KC\).
Доказать: \(MD = KD\).

Рассмотрим ромб \(ABCD\):
Свойства ромба: все стороны равны, то есть \(AB = BC = CD = DA\).
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
Следовательно, углы при вершинах равны: \(\angle A = \angle C\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle AMD\) и \(\triangle CKD\):
1. По условию \(AM = MB\), значит \(AM = \frac{1}{2}AB\). Аналогично \(BK = \frac{1}{2}BC\).
2. Поскольку \(AB = BC\) (свойство ромба), то \(AM = BK\).
3. Диагонали ромба равны и делят друг друга пополам, значит \(AD = CD\).
4. Углы \(\angle MAD\) и \(\angle KCD\) равны, так как это углы между диагоналями ромба.

Таким образом, \(\triangle AMD \cong \triangle CKD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: \(MD = KD\).

Что и требовалось доказать.