ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 147 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки E и F — соответственно середины сторон ВС и CD ромба ABCD. Докажите, что \(\angle EAC = \angle FAC\).

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(BE = EC\), \(CF = FD\).
Доказать: \(\angle EAC = \angle FAC\).

Решение:
Рассмотрим ромб \(ABCD\): \(BC = CD\), \(AC\) — биссектриса \(\angle C\), \(\angle BCA = \angle DCA\).

Рассмотрим \(\triangle AEC\) и \(\triangle AFC\): \(\angle ECA = \angle FCA\), \(AC\) — общая сторона, \(EC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} CD = FC\).

\(\triangle AEC = \triangle AFC\) (первый признак).
\(\angle EAC = \angle FAC\).

Что и требовалось доказать.

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(BE = EC\), \(CF = FD\).
Доказать: \(\angle EAC = \angle FAC\).

Решение:
Рассмотрим ромб \(ABCD\):
1. \(BC = CD\), так как стороны ромба равны.
2. Диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(\angle C\), следовательно:
\(\angle BCA = \angle DCA\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle AEC\) и \(\triangle AFC\):
1. \(\angle ECA = \angle FCA\), так как диагональ \(AC\) — биссектриса.
2. \(AC\) — общая сторона.
3. \(EC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} CD = FC\), так как точки \(E\) и \(F\) делят стороны ромба пополам.

По первому признаку равенства треугольников (\(\angle\), сторона, сторона\)):
\(\triangle AEC = \triangle AFC\).

Следовательно, \(\angle EAC = \angle FAC\).

Что и требовалось доказать.