ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 149 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.
Рассмотрим ромб \(ABCD\): \(AB = BC = CD = DA\), \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\). Рассмотрим \(\triangle ABD\): \(BH\) – высота и медиана, \(\triangle ABD\) равнобедренный, \(BD = AB = AD = 4\), значит, \(\triangle ABD\) равносторонний, \(\angle A = \angle BAD = 60^\circ\). Для ромба \(ABCD\): \(P_{ABCD} = 4 \cdot AB = 16\), \(\angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow 60^\circ + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 120^\circ\). Таким образом, \(\angle C = 60^\circ\), \(\angle D = 120^\circ\). Ответ: \(60^\circ; 120^\circ; 16 \, \text{см}.\)
Рассмотрим ромб \(ABCD\). Все стороны ромба равны, то есть \(AB = BC = CD = DA\). Также противоположные углы ромба равны: \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
Рассмотрим треугольник \(ABD\), где \(BD\) является одной из диагоналей ромба. Так как \(AB = AD = 4\), треугольник \(ABD\) равнобедренный. Кроме того, диагональ \(BD\) делит угол \(\angle A\) пополам, а высота \(BH\), проведённая к основанию \(AD\), является также медианой и биссектрисой. Это возможно только в случае, если треугольник \(ABD\) равносторонний.
Если треугольник \(ABD\) равносторонний, то все его стороны равны: \(AB = AD = BD = 4\). Угол \(\angle A = \angle BAD = 60^\circ\).
Для ромба сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\), то есть \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Подставляем значение \(\angle A = 60^\circ\): \(60^\circ + \angle B = 180^\circ\), откуда \(\angle B = 120^\circ\).
Так как противоположные углы ромба равны, то \(\angle C = \angle A = 60^\circ\) и \(\angle D = \angle B = 120^\circ\).
Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон: \(P_{ABCD} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 4 = 16 \, \text{см}\).
Ответ: \(60^\circ; 120^\circ; 16 \, \text{см}.\)
