ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 150 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что диагональ ромба делит пополам угол между высотами ромба, проведенными из той же вершины, что и диагональ.

Дано: \(ABCD\) — ромб; \(BE\) и \(BF\) — высоты. Доказать: \(\angle EBD = \angle FBD\). Рассмотрим ромб \(ABCD\): \(BD\) — биссектриса \(\angle D\). Рассмотрим \(\triangle BED\) и \(\triangle BFD\): \(\angle BED = \angle BFD = 90^\circ\); \(BD\) — общая сторона; \(\angle EDB = \angle FDB = \frac{1}{2} \cdot \angle ADC\). \(\triangle BED = \triangle BFD\) — гипотенуза и угол; \(\angle EBD = \angle FBD\). Что и требовалось доказать.

Дано: \(ABCD\) — ромб; \(BE\) — высота; \(BF\) — высота.
Доказать: \(\angle EBD = \angle FBD\).

Рассмотрим ромб \(ABCD\):
\(BD\) — биссектриса угла \(\angle D\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle BED\) и \(\triangle BFD\):
\(\angle BED = \angle BFD = 90^\circ\) (по свойству высоты).
\(BD\) — общая сторона.

\(\angle EDB = \angle FDB = \frac{1}{2} \cdot \angle ADC\) (по свойству биссектрисы).

Треугольники \(\triangle BED\) и \(\triangle BFD\) равны по гипотенузе и острому углу (\(\angle EDB = \angle FDB\)).

Следовательно, \(\angle EBD = \angle FBD\).

Что и требовалось доказать.