ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 153 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекают его стороны ВС и AD в точках F и Е соответственно. Определите вид четырехугольника ABFE.
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AF\) — биссектриса \(\angle A\), \(BE\) — биссектриса \(\angle B\).
В параллелограмме \(ABCD\): \(AD \parallel BC\). Для прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AF\): \(\angle AFB = \angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAF\). Треугольник \(ABF\) равнобедренный: \(AB = BF\). Для прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BE\): \(\angle AEB = \angle EBF = \frac{1}{2}\angle ABE\). Треугольник \(BAE\) равнобедренный: \(AE = AB = BF\). В четырёхугольнике \(ABFE\): \(AE = BF\), \(AE \parallel BF\); \(ABFE\) — параллелограмм. \(AF\) — биссектриса \(\angle A\), значит, \(ABFE\) — ромб.
Ответ: ромб.
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AF\) — биссектриса угла \(\angle A\), \(BE\) — биссектриса угла \(\angle B\). Найти: \(ABFE\).
Решение:
В параллелограмме \(ABCD\) по свойству противоположных сторон выполняется условие \(AD \parallel BC\). Рассмотрим прямые \(AD\) и \(BC\) и секущую \(AF\). Углы \(\angle AFB\) и \(\angle EAF\) равны между собой, так как \(AF\) является биссектрисой угла \(\angle A\). Таким образом, \(\angle AFB = \angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAF\).
Треугольник \(ABF\) является равнобедренным, так как углы при основании равны: \(\angle AFB = \angle EAF\). Следовательно, \(AB = BF\).
Теперь рассмотрим прямые \(AD\) и \(BC\) и секущую \(BE\). Углы \(\angle AEB\) и \(\angle EBF\) равны между собой, так как \(BE\) является биссектрисой угла \(\angle B\). Таким образом, \(\angle AEB = \angle EBF = \frac{1}{2}\angle ABE\).
Треугольник \(BAE\) также является равнобедренным, так как углы при основании равны: \(\angle AEB = \angle EBF\). Следовательно, \(AE = AB = BF\).
В четырёхугольнике \(ABFE\) стороны \(AE\) и \(BF\) равны между собой (\(AE = BF\)) и параллельны (\(AE \parallel BF\)), что делает \(ABFE\) параллелограммом. Поскольку \(AF\) является биссектрисой угла \(\angle A\), диагонали \(ABFE\) пересекаются под равными углами. Это означает, что \(ABFE\) является ромбом.
Ответ: ромб.
