ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 157 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В прямоугольнике ABCD известно, что \(AD = 9\) см, \(\angle BDA = 30^\circ\). На сторонах ВС и AD отметили соответственно точки М и К так, что образовался ромб АМСК. Найдите сторону этого ромба.
Дано: прямоугольник \(ABCD\), \(AD = 9 \, \text{см}\), \(\angle BDA = 30^\circ\), ромб \(AMCK\). Найти \(AM\).
В прямоугольнике \(ABCD\): \(AO = OD = \frac{1}{2}AC\). \(\triangle AOD\) равнобедренный: \(\angle OAD = \angle ODA = 30^\circ\). В ромбе \(AMCK\): \(MK = 2OK\), \(MK \perp AC\), \(AM = AK\), \(AC\) — биссектриса \(\angle A\), \(\angle MAK = 2\angle CAD = 60^\circ\). \(\triangle MAK\) равносторонний: \(AK = MK = 2OK\). В \(\triangle AKO\): \(\angle DKO = 180^\circ — \angle AKO = 120^\circ\), \(\angle DKO + \angle ODK + \angle DOK = 180^\circ\), \(120^\circ + 30^\circ + \angle DOK = 180^\circ\), \(\angle DOK = 30^\circ\). \(\triangle DKO\) равнобедренный: \(OK = DK\). Рассмотрим \(AD\): \(AD = AK + KD = AK + OK\), \(AD = 2OK + OK = 3OK\), \(3OK = 9\), \(OK = 3\), \(AK = 2 \cdot 3 = 6\).
Ответ: \(6 \, \text{см}\).
Дано: прямоугольник \(ABCD\), \(AD = 9 \, \text{см}\), \(\angle BDA = 30^\circ\), ромб \(AMCK\). Найти \(AM\).
Решение:
В прямоугольнике \(ABCD\), диагонали равны, поэтому \(AO = OD = \frac{1}{2}AC\).
Треугольник \(\triangle AOD\) равнобедренный, так как \(AO = OD\), следовательно, \(\angle OAD = \angle ODA = 30^\circ\).
Рассмотрим ромб \(AMCK\), где \(MK = 2OK\) и \(MK \perp AC\). Так как \(AM = AK\), а \(AC\) — биссектриса угла \(\angle A\), то \(\angle MAK = 2\angle CAD = 60^\circ\).
Треугольник \(\triangle MAK\) равносторонний (\(\angle AKM = 60^\circ\)), следовательно, \(AK = MK = 2OK\).
В треугольнике \(\triangle AKO\), \(\angle DKO = 180^\circ — \angle AKO = 120^\circ\). Сумма углов в треугольнике \( \angle DKO + \angle ODK + \angle DOK = 180^\circ\), из чего следует, что \(120^\circ + 30^\circ + \angle DOK = 180^\circ\), следовательно, \(\angle DOK = 30^\circ\).
Треугольник \(\triangle DKO\) равнобедренный, значит \(OK = DK\).
Рассмотрим отрезок \(AD\): \(AD = AK + KD = AK + OK\). Поскольку \(AD = 2OK + OK = 3OK\), и \(3OK = 9\), то \(OK = 3\).
Таким образом, \(AK = 2 \cdot 3 = 6\).
Ответ: \(6 \, \text{см}\).
