ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 162 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах угла с вершиной в точке А отложены равные отрезки АВ и АС. Через точки В и С проведены прямые, перпендикулярные сторонам АВ и АС соответственно, которые пересекаются в точке D. Докажите, что луч AD является биссектрисой угла ВАС

Решение:

Рассмотрим ΔABD и ΔACD: \(ΨABD = ΨACD = 90°\); AD — общая сторона; \(ΔABD = ΔACD — катет и гипотенуза\); \(ΨBAD = 2CAD\); AD — биссектриса ∠A.

Дано:
— AB = AC
— BD ⊥ AB
— CD ⊥ AC

Доказать:
AD является биссектрисой угла A

Решение:
1) Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔACD.
2) Поскольку AB = AC, то углы при основании равны: \(\Psi_{ABD} = \Psi_{ACD} = 90°\).
3) Общая сторона AD, таким образом, \(\Delta{ABD} \cong \Delta{ACD}\) по признаку «катет-гипотенуза-катет».
4) Из равенства треугольников следует, что \(\Psi_{BAD} = \Psi_{CAD}\).
5) Так как \(\Psi_{BAD} + \Psi_{CAD} = 180°\), то \(\Psi_{BAD} = \Psi_{CAD} = 90°\).
6) Следовательно, AD является биссектрисой угла A.

Таким образом, доказано, что AD является биссектрисой угла A.