ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 163 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На продолжении стороны АС треугольника АВС за точку А отметили точку D так, что \(AD = AB\), а на продолжении этой стороны за точку С — точку Е так, что \(СЕ = ВС\). Найдите углы и периметр треугольника АВС, если \(DE = 18\) см, \(\angle BDA = 15^\circ\), \(\angle BEC = 36^\circ\).

Краткий ответ:

1) Треугольник ADB равнобедренный: \(\angle ABD = \angle ADB = 15°\); \(\angle ADB + \angle ABD + 2\angle BAD = 180°\); \(15° + 15° + 2\angle BAD = 180°\); \(\angle BAD = 150°\);
2) Треугольник ECB равнобедренный: \(\angle ECB = \angle CEB = 36°\); \(\angle ECB + \angle CEB + \angle ECB = 180°\); \(36° + 36° + \angle ECB = 180°\); \(\angle ECB = 108°\);
3) В треугольнике ABC: \(\angle A = 180° — \angle BAD = 30°\); \(\angle C = 180° — \angle ECB = 72°\); \(\angle A + 2\angle B + 2\angle C = 180°\); \(30° + 2\angle B + 72° = 180°\); \(\angle B = 78°\); \(P_{ABC} = AB + BC + AC\); \(P_{ABC} = DA + CE + AC\); \(P_{ABC} = DE = 18\).

Ответ: 30°; 72°; 78°; 18 см.

Подробный ответ:

Дано:
— Отрезки: \(AD = AB\), \(CE = BC\), \(DE = 18\) см
— Углы: \(\angle BDA = 15°\), \(\angle BEC = 36°\)

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \(ADB\). Он является равнобедренным, так как \(AD = AB\).
— Так как \(\angle BDA = 15°\), то \(\angle ADB = 15°\) (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
— Сумма углов в треугольнике равна \(180°\), поэтому \(2 \cdot 15° + \angle BAD = 180°\).
— Отсюда \(\angle BAD = 150°\).

2. Рассмотрим треугольник \(ECB\). Он также является равнобедренным, так как \(CE = BC\).
— Так как \(\angle BEC = 36°\), то \(\angle CEB = 36°\) (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
— Сумма углов в треугольнике равна \(180°\), поэтому \(2 \cdot 36° + \angle ECB = 180°\).
— Отсюда \(\angle ECB = 108°\).

3. Рассмотрим треугольник \(ABC\).
— Так как \(\angle BAD = 150°\), то \(\angle A = 180° — \angle BAD = 30°\).
— Так как \(\angle ECB = 108°\), то \(\angle C = 180° — \angle ECB = 72°\).
— Сумма углов в треугольнике равна \(180°\), поэтому \(\angle A + 2 \cdot \angle B + 2 \cdot \angle C = 180°\).
— Отсюда \(30° + 2 \cdot \angle B + 2 \cdot 72° = 180°\).
— Решая это уравнение, получаем \(\angle B = 78°\).

4. Вычисляем периметр треугольника \(ABC\):
— \(P_{ABC} = AB + BC + AC\)
— \(P_{ABC} = DA + CE + AC\)
— \(P_{ABC} = DE = 18\) см

Ответ: \(30°\), \(72°\), \(78°\), \(18\) см.

Оцени решение