ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 164 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На листе бумаги в клетку выбрали произвольно 100 клеток. Докажите, что среди них можно найти не менее 25 клеток, не имеющих общих точек.

1) Раскрасим бумагу в четыре цвета так, чтобы клетки с одинаковым цветом не соприкасались;
2) По крайней мере 25 (четверть) клеток из 100 одного цвета, то есть они не имеют общих точек;
Что и требовалось доказать.

Решение:

Для доказательства того, что среди 100 выбранных клеток есть не менее 25 клеток, не имеющих общих точек, можно использовать следующий подход:

1) Раскрасим бумагу в четыре цвета (красный, синий, зеленый и желтый) таким образом, чтобы клетки с одинаковым цветом не соприкасались. Это можно сделать, используя шахматную раскраску, где каждая клетка окрашена в один из четырех цветов, и соседние клетки имеют разные цвета.

2) Среди 100 выбранных клеток, как минимум \(25\) клеток будут одного цвета, так как четвертая часть от 100 равна 25. Эти \(25\) клеток одного цвета не имеют общих точек, поскольку мы использовали шахматную раскраску.

Таким образом, мы доказали, что среди 100 выбранных клеток есть не менее 25 клеток, не имеющих общих точек.