ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 165 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом.

Рассмотрим ромб ABCD: \(\angle C = \angle A = 90^\circ\), \(\angle B = \angle D\); \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\); \(90^\circ + \angle B + 90^\circ + \angle B = 360^\circ\); \(2\angle B = 180^\circ\), \(\angle B = 90^\circ\); ABCD — квадрат.

Дано: четырехугольник ABCD является ромбом, и \(\angle A = 90^\circ\).

Доказательство:
1. Рассмотрим ромб ABCD. Поскольку ABCD является ромбом, противоположные стороны равны и параллельны.
2. Так как \(\angle A = 90^\circ\), то \(\angle C = 90^\circ\), так как в ромбе противоположные углы равны.
3. Сумма всех углов в четырехугольнике равна \(360^\circ\), то есть \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\).
4. Подставляя \(\angle A = 90^\circ\) и \(\angle C = 90^\circ\), получаем: \(90^\circ + \angle B + 90^\circ + \angle D = 360^\circ\).
5. Упрощая, получаем: \(2\angle B = 180^\circ\), следовательно, \(\angle B = 90^\circ\).
6. Аналогично, \(\angle D = 90^\circ\).
7. Таким образом, все углы ромба ABCD равны \(90^\circ\), что означает, что ABCD является квадратом.

Вывод: Доказано, что четырехугольник ABCD является квадратом.