ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 170 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Верно ли утверждение:
1) любой квадрат является параллелограммом;
2) любой ромб является квадратом;
3) любой прямоугольник является квадратом;
4) любой квадрат является прямоугольником;
5) любой квадрат является ромбом;
6) если диагонали четырехугольника равны, то он является прямоугольником;
7) если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он является ромбом;
8) существует ромб, который является прямоугольником;
9) существует квадрат, который не является ромбом;
10) если диагонали четырехугольника не перпендикулярны, то он не является ромбом;
11) если диагонали параллелограмма не равны, то он не является прямоугольником;
12) если диагональ прямоугольника делит его угол пополам, то этот прямоугольник является квадратом?

1) Да, квадрат является прямоугольником, который является параллелограммом по определению.
2) Нет, не существуют ромбы, у которых не все углы равны.
3) Нет, не существуют прямоугольники, у которых не все стороны равны, а значит они — не квадраты.
4) Да, квадрат — это прямоугольник по определению.
5) Да, квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, то есть он является ромбом.
6) Нет, диагонали четырехугольника не равны.
7) Нет, диагонали четырехугольника не перпендикулярны.
8) Да, квадрат является ромбом и прямоугольником.
9) Нет, квадрат не является параллелограммом, у которого все стороны равны, то есть он не является ромбом.
10) Если в ромбе ABCD диагонали AC и BD не перпендикулярны, то в треугольнике ABD: AO — биссектриса, но не высота; \(\angle\)ABD ≠ \(\angle\)CDA ≠ 90°; AB ≠ AD, ABCD — не ромб.
11) Если в прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD не равны, то \(\angle\)BAD и \(\angle\)CDA не равны: AB = CD, AD — общая сторона; \(\angle\)BAD ≠ \(\angle\)CDA ≠ 90°; ABCD — не прямоугольник.
12) Если в прямоугольнике ABCD диагональ AC делит угол BAD на равные части, тогда: \(\angle\)BAC = \(\angle\)DAC, \(\angle\)ABC = \(\angle\)ADC = 90°; AC — общая сторона; \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC — гипотенуза и угол; AB = AD, AB = CD, BC = AD; AB = BC = CD = AD; ABCD — квадрат.

Рассмотрим 10-й вопрос:

Если в ромбе ABCD диагонали AC и BD не перпендикулярны, тогда в треугольнике ABD:
AO — биссектриса, но не высота;
∠ABD ≠ ∠CDA ≠ 90°;
AB ≠ AD, AB ≠ CD, BC ≠ AD;
AB = BC = CD = AD.

Доказательство:
1) Так как ABCD — ромб, то противоположные стороны AB и CD, а также AC и BD равны.
2) Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, образуя четыре равных треугольника AOB, BOC, COD и AOD.
3) Поскольку диагонали AC и BD не перпендикулярны, то угол ∠AOB не равен 90°.
4) Следовательно, в треугольнике ABD:
— AO не является высотой, так как ∠AOB ≠ 90°;
— ∠ABD ≠ ∠CDA, так как диагонали не перпендикулярны;
— AB ≠ AD, AB ≠ CD, BC ≠ AD, так как ромб превратился в произвольный четырехугольник;
— AB = BC = CD = AD, так как ABCD остается ромбом.

Таким образом, ответ на 10-й вопрос: да.

11) Если в прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD не равны, то треугольники ABAD и ACDA не равны:
\(AB = CD, AD — общая сторона\)
\(\angle BAD \neq \angle CDA \neq 90^\circ\)
ABCD — не прямоугольник

Доказательство:
1) Так как ABCD — прямоугольник, то противоположные стороны AB и CD, а также AC и BD равны.
2) Однако, если диагонали AC и BD не равны, то треугольники ABAD и ACDA не будут равны.
3) Действительно, AB = CD (противоположные стороны прямоугольника), но AD — общая сторона.
4) Кроме того, \(\angle BAD \neq \angle CDA\), так как диагонали не равны.
5) Следовательно, ABCD — не прямоугольник, так как нарушается свойство равенства диагоналей.

Таким образом, ответ на 11-й вопрос: да.

12) Если в прямоугольнике ABCD диагональ AC делит угол BAD на равные части, тогда:
\(\angle BAC = \angle DAC, \angle ABC = \angle ADC = 90^\circ\)
\(AC — общая сторона\)
\(\Delta ABC = \Delta ADC — гипотенуза и угол\)
\(AB = AD, AB = CD, BC = AD\)
\(AB = BC = CD = AD\)
\(ABCD — квадрат\)

Доказательство:
1) Так как диагональ AC делит угол BAD на равные части, то углы ∠BAC и ∠DAC равны.
2) Также, так как ABCD — прямоугольник, то углы ∠ABC и ∠ADC равны 90°.
3) Треугольники ABC и ADC равны по двум углам и общей стороне AC.
4) Следовательно, AB = AD, AB = CD, BC = AD.
5) Так как все стороны равны, ABCD является квадратом.

Таким образом, ответ на 12-й вопрос: да.