ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 171 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата

Краткий ответ:

1) Рассмотрим квадрат ABCD: \(AC \perp BD, AC = BD\);
2) В четырехугольнике MBDP: \(MB \perp PD, MP \perp BD\); MBDP — параллелограмм; \(MP = BD\);
3) В четырехугольнике MNCA: \(MN \parallel AC, MA \parallel NC\); MNCA — параллелограмм; \(MN = AC\);
4) В четырехугольнике MNKP: \(MN \parallel PK, MP \perp NK\); MNKP — параллелограмм; \(AC \perp BD, MN \perp MP\); MNKP — прямоугольник; \(MP = BD = AC = MN\); MNKP — квадрат.

Подробный ответ:

Дано: Четырехугольник ABCD является квадратом, прямые MN и PK параллельны стороне AC, а прямые MP и NK параллельны стороне BD. Требуется доказать, что четырехугольник MNKP также является квадратом.

Доказательство:
1) Рассмотрим квадрат ABCD. Поскольку ABCD — квадрат, то стороны AC и BD перпендикулярны, а их длины равны: \(AC \perp BD, AC = BD\).
2) Рассмотрим четырехугольник MBDP. Так как MN параллельна AC, а NK параллельна BD, то четырехугольник MBDP является параллелограммом. Следовательно, противоположные стороны MB и PD, а также MP и BD параллельны и равны по длине: \(MB \perp PD, MP \perp BD, MB = PD, MP = BD\).
3) Рассмотрим четырехугольник MNCA. Поскольку MN параллельна AC, а MA параллельна NC, то четырехугольник MNCA является параллелограммом. Следовательно, противоположные стороны MN и AC, а также MA и NC равны по длине: \(MN \parallel AC, MA \parallel NC, MN = AC\).
4) Рассмотрим четырехугольник MNKP. Так как MN параллельна PK, а MP перпендикулярна NK, то четырехугольник MNKP является параллелограммом. Кроме того, поскольку AC перпендикулярна BD, а MN перпендикулярна MP, то четырехугольник MNKP является прямоугольником. Следовательно, противоположные стороны MN и PK, а также MP и NK равны по длине, и все стороны MNKP равны: \(MN \parallel PK, MP \perp NK, AC \perp BD, MN \perp MP, MP = BD = AC = MN\).

Таким образом, четырехугольник MNKP является квадратом, что и требовалось доказать.

Оцени решение