ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 172 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что образовавшийся четырехугольник является квадратом.

Решение:
В четырехугольнике MNCK: MN ∥ CK, NC ∥ MK; MNCK — параллелограмм; NC ⊥ CK; MNCK — прямоугольник; СМ — биссектриса ∠C; MNCK — ромб; \(\angle M = \angle N = \angle C = \angle K = 90^\circ\); MNCK — квадрат.

Решение:

1) Рассмотрим квадрат ABCD, где \(AC \perp BD\) и \(AC = BD\). Это означает, что ABCD — квадрат.

2) В четырехугольнике MBDP: \(MB \perp PD\) и \(MP \perp BD\). Это означает, что MBDP — параллелограмм, и \(MP = BD\).

3) В четырехугольнике MNCA: \(MN \parallel AC\) и \(MA \parallel NC\). Это означает, что MNCA — параллелограмм, и \(MN = AC\).

4) В четырехугольнике MNKP: \(MN \parallel PK\) и \(MP \perp NK\). Это означает, что MNKP — параллелограмм. Так как \(AC \perp BD\) и \(MN \perp MP\), MNKP является прямоугольником. Поскольку \(MP = BD = AC = MN\), MNKP является квадратом.