ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 173 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки M, K, N, Р являются соответственно серединами сто- рон AB, ВС, CD и AD квадрата ABCD. Докажите, что четырехугольник MKNP — квадрат

1) Рассмотрим квадрат ABCD: \(AB = BC = CD = AD\); \(∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°\);
2) Для треугольников AMAP, AMBK, ANCK и ANDP: \(AM = AP = MB = BK = \frac{1}{2}AB\); \(CN = CK = DN = DP = \frac{1}{2}AB\); \(∆MAP = ∆MBK = ∆NCK = ∆NDP\); \(MP = MK = KN = NP\);
3) Треугольники MBK и NCK равнобедренные: \(∠BKM = ∠CKN = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°\);
4) В четырехугольнике MKNP: \(MP = MK = KN = NP\); MKNP — ромб; \(∠MKN = 180° — 45° — 45° = 90°\);
Следовательно, MKNP — квадрат.

Дано: четырехугольник ABCD является квадратом, стороны равны: \(AB = BC = CD = AD\), углы равны \(∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°\). Также известно, что \(AM = BM\), \(BK = CK\), \(CN = DN\), \(AP = DP\).

Требуется доказать, что четырехугольник MKNP также является квадратом.

Решение:
1) Рассмотрим квадрат ABCD. Так как стороны равны, то \(AB = BC = CD = AD\). Также углы равны \(∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°\).

2) Для треугольников AMAP, AMBK, ANCK и ANDP:
— Так как \(AM = BM\), то \(AM = AP = MB = BK = \frac{1}{2}AB\).
— Аналогично, \(CN = CK = DN = DP = \frac{1}{2}AB\).
— Так как треугольники равнобедренные, то \(∆MAP = ∆MBK = ∆NCK = ∆NDP\).
— Также \(MP = MK = KN = NP\).

3) Рассмотрим треугольники MBK и NCK. Так как они равнобедренные, то \(∠BKM = ∠CKN = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°\).

4) Теперь рассмотрим четырехугольник MKNP:
— Так как \(MP = MK = KN = NP\), то MKNP является ромбом.
— Так как \(∠MKN = 180° — 45° — 45° = 90°\), то MKNP является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник MKNP является квадратом.