ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 174 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике АВС известно, что \(ZC = 90^\circ\), \(АС = ВС = 14\) см. Две стороны квадрата CDEF лежат на катетах треугольника АВС, а вершина Е принадлежит гипотенузе АВ. Найдите периметр квадрата CDEF.

Решение:
1) В равнобедренном треугольнике АСВ: \(\angle A + \angle C + \angle B = 180^\circ\), \(\angle A + 90^\circ + \angle A = 180^\circ\), \(2\angle A = 90^\circ\), \(\angle B = \angle A = 45^\circ\)
2) Рассмотрим квадрат CDEF: CD \(\perp\) DE, CF \(\perp\) EF
3) В прямоугольном треугольнике AEF: \(\angle BEF = 90^\circ — \angle EBF = 45^\circ\), треугольник EFB равнобедренный, EF = FB
4) В прямоугольном треугольнике ADE: \(\angle AED = 90^\circ — \angle AED = 45^\circ\), треугольник ADE равнобедренный, DE = AD
5) Периметр квадрата CDEF: \(P_{CDEF} = CD + DE + ED + CF = CD + AD + FB + CF =\)
\(= AC + BC = 28\)
Ответ: 28 см.

Дано:
— Треугольник АСВ является равнобедренным, где \(AC = BC = 14\) см и \(\angle C = 90^\circ\)
— Четырехугольник CDEF является квадратом

Решение:
Для начала рассмотрим равнобедренный треугольник АСВ. Так как \(\angle C = 90^\circ\), то по свойству равнобедренного треугольника \(\angle A = \angle B = (180^\circ — 90^\circ) / 2 = 45^\circ\).

Теперь перейдем к четырехугольнику CDEF, который является квадратом. Так как CDEF — квадрат, то все его стороны равны, а все углы равны \(90^\circ\). Это означает, что \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(\angle ACD = 45^\circ\).

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник AEF. Так как \(\angle AEF = 90^\circ\), то \(\angle BEF = 90^\circ — \angle EBF = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\). Также треугольник EFB является равнобедренным, поэтому \(EF = FB\).

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. Так как \(\angle AED = 90^\circ\), то \(\angle ADE = 90^\circ — \angle AED = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\). Треугольник ADE также является равнобедренным, поэтому \(DE = AD\).

Наконец, для вычисления периметра квадрата CDEF, мы можем использовать следующую формулу:
\(P_{CDEF} = CD + DE + ED + CF\)
Так как \(CD = AC = 14\) см, \(DE = AD = 14\) см, \(EF = FB = 14\) см и \(CF = BC = 14\) см, то
\(P_{CDEF} = 14 + 14 + 14 + 14 = 56\) см.

Ответ: Периметр квадрата CDEF равен 28 см.