ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 175 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В квадрате ABCD отметили точку М так, что треугольник АМВ равносторонний. Докажите, что треугольник CMD равнобедренный.

1) Квадрат ABCD, \(\Delta\)AMB равносторонний: \(\angle\)MAB = \(\angle\)MBA = 60°, AM = BM.
2) \(\angle\)A = \(\angle\)B = 90°, AD = BC.
3) \(\angle\)MAD = 90° — 60° = \(\angle\)MBC, \(\Delta\)AMD = \(\Delta\)BMC — первый признак, CM = MD.
4) В \(\Delta\)CMD: CM = MD, \(\Delta\)CMD — равнобедренный.
Что и требовалось доказать.

Дано: Квадрат ABCD, \(\Delta\)AMB — равносторонний.

Доказать: \(\Delta\)CMD — равнобедренный.

Решение:
1) Рассмотрим квадрат ABCD. Согласно свойствам квадрата, все его углы равны \(90^\circ\), а противоположные стороны равны: \(\angle\)A = \(\angle\)B = \(\angle\)C = \(\angle\)D = \(90^\circ\), AD = BC.

2) Далее рассмотрим \(\Delta\)AMB. Так как он является равносторонним, то \(\angle\)MAB = \(\angle\)MBA = \(60^\circ\). Также из свойств равностороннего треугольника следует, что AM = BM.

3) Теперь рассмотрим \(\Delta\)AMD и \(\Delta\)BMC. Так как \(\angle\)MAD = \(90^\circ\) — \(60^\circ\) = \(30^\circ\) и \(\angle\)MBC = \(30^\circ\), то \(\Delta\)AMD и \(\Delta\)BMC подобны по первому признаку подобия треугольников. Следовательно, CM = MD.

4) Таким образом, в \(\Delta\)CMD стороны CM и MD равны, что означает, что \(\Delta\)CMD — равнобедренный треугольник.

Что и требовалось доказать.