ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 179 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника, не являющегося квадратом, являются вершинами квадрата.

Краткий ответ:

1) В прямоугольнике ABCD: \(\angle{LA} = \angle{B} = \angle{C} = \angle{D} = 90^\circ\); AB = CD, BC || AD;
2) В треугольнике AMB: \(\angle{MAB} = \frac{1}{2}\angle{A} = 45^\circ\);
\(\angle{MAB} + \angle{MBA} + \angle{AMB} = 180^\circ\), \(45^\circ + 45^\circ + \angle{AMB} = 180^\circ\), \(\angle{AMB} = 90^\circ\);
3) В треугольнике CKD: \(\angle{KCD} = \frac{1}{2}\angle{A} = 45^\circ\);
\(\angle{KCD} + \angle{KDC} + \angle{CKD} = 180^\circ\), \(45^\circ + 45^\circ + \angle{CKD} = 180^\circ\), \(\angle{CKD} = 90^\circ\);
4) \(\angle{AMB} = \angle{CKD} = 90^\circ\), \(\angle{BAM} = \angle{DCK}\);
\(\Delta{AMB} = \Delta{CKD}\) — гипотенуза и угол; BM = CK;
5) В треугольнике BLC: \(\angle{LBC} = \angle{LCB} = \frac{1}{2}\angle{A} = 45^\circ\);
\(\Delta{BLC}\) — равнобедренный, \(\angle{LBC} + \angle{LCB} + \angle{BLC} = 180^\circ\), \(45^\circ + 45^\circ + \angle{BLC} = 180^\circ\), \(\angle{BLC} = 90^\circ\), BL = CL;
6) В четырехугольнике MTKL: \(\angle{M} = \angle{L} = \angle{K} = 90^\circ\);
\(\angle{M} + \angle{L} + \angle{K} + \angle{T} = 360^\circ\), \(90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle{T} = 360^\circ\), \(\angle{T} = 90^\circ\);
MTKL — прямоугольник, ML = BL — BM = CL — CK/SK, ML = KL = MT = KT; MTKL — квадрат.

Подробный ответ:

Дано: четырехугольник ABCD является прямоугольником, углы треугольников AFB, CGD, BHD, DEA являются биссектрисами соответствующих углов прямоугольника. Необходимо доказать, что четырехугольник MTKL является квадратом.

Решение:
1) Рассмотрим прямоугольник ABCD. Так как ABCD — прямоугольник, то \(\angle{A} = \angle{B} = \angle{C} = \angle{D} = 90^\circ\). Также известно, что AB = CD и BC || AD.

2) Рассмотрим треугольник AMB. Так как AF является биссектрисой угла A, то \(\angle{MAB} = \frac{1}{2}\angle{A} = 45^\circ\). Из суммы углов треугольника следует, что \(\angle{MAB} + \angle{MBA} + \angle{AMB} = 180^\circ\). Подставляя \(\angle{MAB} = 45^\circ\), получаем \(45^\circ + \angle{MBA} + \angle{AMB} = 180^\circ\). Отсюда \(\angle{MBA} = \angle{AMB} = 45^\circ\).

3) Рассмотрим треугольник CKD. Так как CG является биссектрисой угла C, то \(\angle{KCD} = \frac{1}{2}\angle{C} = 45^\circ\). Из суммы углов треугольника следует, что \(\angle{KCD} + \angle{KDC} + \angle{CKD} = 180^\circ\). Подставляя \(\angle{KCD} = 45^\circ\), получаем \(45^\circ + \angle{KDC} + \angle{CKD} = 180^\circ\). Отсюда \(\angle{KDC} = \angle{CKD} = 45^\circ\).

4) Из пунктов 2 и 3 следует, что \(\angle{AMB} = \angle{CKD} = 90^\circ\) и \(\angle{BAM} = \angle{DCK}\). Таким образом, \(\Delta{AMB}\) и \(\Delta{CKD}\) являются подобными треугольниками с общей гипотенузой и углом. Следовательно, \(\Delta{AMB} = \Delta{CKD}\) — гипотенуза и угол, и BM = CK.

5) Рассмотрим треугольник BLC. Так как BH является биссектрисой угла B, то \(\angle{LBC} = \angle{LCB} = \frac{1}{2}\angle{B} = 45^\circ\). Из суммы углов треугольника следует, что \(\angle{LBC} + \angle{LCB} + \angle{BLC} = 180^\circ\). Подставляя \(\angle{LBC} = \angle{LCB} = 45^\circ\), получаем \(45^\circ + 45^\circ + \angle{BLC} = 180^\circ\). Отсюда \(\angle{BLC} = 90^\circ\), и BL = CL.

6) Рассмотрим четырехугольник MTKL. Из пунктов 2, 3 и 5 следует, что \(\angle{M} = \angle{L} = \angle{K} = 90^\circ\). Из суммы углов четырехугольника следует, что \(\angle{M} + \angle{L} + \angle{K} + \angle{T} = 360^\circ\). Подставляя \(\angle{M} = \angle{L} = \angle{K} = 90^\circ\), получаем \(90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle{T} = 360^\circ\). Отсюда \(\angle{T} = 90^\circ\).

Таким образом, четырехугольник MTKL является прямоугольником, в котором все углы равны 90 градусам, следовательно, MTKL является квадратом. ML = BL — BM = CL — CK/SK, ML = KL = MT = KT, что также подтверждает, что MTKL — квадрат.

Оцени решение