ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 180 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вершины М и К равностороннего треугольника АМК при- надлежат сторонам ВС и CD квадрата ABCD. Докажите, что \(MK \parallel BD\).

Решение:
1) Рассмотрим квадрат ABCD: AB = BC = CD = AD; ∠B = ∠D = ∠C = 90°; MD — биссектриса ∠B; ∠CBD = \(\frac{1}{2}\)∠B = 45°;
2) Рассмотрим ∆ABM и ∆ADK: ∠ABM = ∠ADK = 90°, AM = AK; ∆ABM = ∆ADK — гипотенуза и катет; BM = KD;
3) В прямоугольном ∆MCK: CM = BC — BM = CD — KD = CK; ∆MCK — равнобедренный; ∠CMK = ∠CKM = \(\frac{1}{2}\)90° = 45°;
4) Для прямых BD и MK и секущей BC: ∠CBD = ∠CMK = 45°, BD ∥ MK.

Дано: квадрат ABCD, равнобедренный треугольник AMK.

Доказать: MK ∥ BD.

Решение:
1) Рассмотрим квадрат ABCD. Известно, что AB = BC = CD = AD, так как ABCD — квадрат. Также известно, что ∠B = ∠D = ∠C = 90°, так как углы квадрата прямые.

2) Биссектриса ∠B пересекает сторону CD в точке M. Значит, ∠BMD = \(\frac{1}{2}\)∠B = 45°.

3) Рассмотрим треугольник AMK. Так как ΔAMK — равнобедренный (AM = AK), то ∠AMK = ∠AKM = \(\frac{1}{2}\)180° = 90°. Следовательно, ∠ABM = ∠ADK = 90°.

4) Так как ∠ABM = ∠ADK = 90°, то AM = AK и BM = KD (катеты равны в прямоугольных треугольниках).

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник MCK. Так как MC = BC — BM = CD — KD = CK, то ∆MCK — равнобедренный. Следовательно, ∠CMK = ∠CKM = \(\frac{1}{2}\)90° = 45°.

6) Так как ∠CBD = ∠CMK = 45°, то BD ∥ MK (накрест лежащие углы).

Вывод: MK ∥ BD.