ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 182 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через произвольную точку, принадлежащую квадрату, проведены две перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противолежащие стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны.

1) Проведем две прямые: MT ⊥ AD, EK ⊥ CD;
2) Рассмотрим квадрат ABCD: AB ‖ CD, AD ‖ BC; AB ⊥ AD, MT ‖ AB; AD ⊥ CD, EK ‖ AD; AB = AD;
3) В четырехугольнике АВМТ: AB ‖ MT, AT ‖ BM; ABMT — параллелограмм; MT = AB;
4) В четырехугольнике AEKD: AD ‖ EK, AE ‖ KD; AEKD — параллелограмм; EK = AD;
5) В четырехугольнике ВМОЕ: \(\angle B + \angle M + \angle O + \angle E = 360°\); \(\angle M + \angle E = 180°\); \(\angle TMN + 90° + 90° — \angle KEF = 180°\); \(\angle TMN = \angle KEF\);
6) Рассмотрим ΔMTN и ΔKEF: MT = AB = AD = EK; \(\angle MTN = \angle EKF = 90°\); \(\angle TMN = \angle KEF\); \(\Delta MTN = \Delta KEF — \text{катет и угол}\); MN = EF.

Дано:
— Четырехугольник ABCD является квадратом.
— Прямая EF перпендикулярна прямой MN.

Требуется доказать: EF = MN.

Решение:
1) Проведем две прямые MT ⊥ AD и EK ⊥ CD. Эти прямые будут пересекаться в точках, которые делят стороны квадрата пополам.
2) Рассмотрим квадрат ABCD. Так как AB ‖ CD и AD ‖ BC, то AB ⊥ AD и MT ‖ AB. Аналогично, AD ⊥ CD и EK ‖ AD. Кроме того, AB = AD, так как ABCD — квадрат.
3) В четырехугольнике АВМТ прямые AB и MT являются параллельными, а прямые AT и BM также параллельны. Следовательно, АВМТ — параллелограмм, и MT = AB.
4) В четырехугольнике AEKD прямые AD и EK, а также AE и KD являются параллельными. Следовательно, AEKD — параллелограмм, и EK = AD.
5) Рассмотрим четырехугольник ВМОЕ. Сумма его углов \(\angle B + \angle M + \angle O + \angle E = 360°\). Кроме того, \(\angle M + \angle E = 180°\), так как ВМОЕ — параллелограмм. Также \(\angle TMN + 90° + 90° — \angle KEF = 180°\), и \(\angle TMN = \angle KEF\).
6) Рассмотрим треугольники ΔMTN и ΔKEF. Так как MT = AB = AD = EK, \(\angle MTN = \angle EKF = 90°\), \(\angle TMN = \angle KEF\), то ΔMTN и ΔKEF равны по двум сторонам и углу. Следовательно, MN = EF.

Таким образом, мы доказали, что EF = MN.