ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 184 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В квадрате ABCD отметили точку О так, что \(LOAD = ZODA = 15^\circ\). Докажите, что треугольник ВОС равносторонний.

1) Отметим точку O₁ так, чтобы ∆BO₁C был равносторонним: BO₁ = CO₁ = BC, ∠CBO₁ = ∠BCO₁ = 60°.
2) Рассмотрим квадрат ABCD: ∠A = ∠B = ∠C = 90°, AB = BC = CD.
3) В треугольнике ABO₁: BO₁ = BC = AB, ∠ABO₁ = 90° — 60° = 30°, ∆ABO₁ — равнобедренный, ∠BAO₁ = ∠BO₁A, ∠BA O₁ + ∠BO₁A + ∠ABO₁ = 180°, ∠BA O₁ + ∠BAO₁ + 30° = 180°, 2∠BAO₁ = 150°, ∠BAO₁ = 75°.
4) Рассмотрим ∆ABO₁ и ∆DCO₁: ∠DCO₁ = 90° — 60° = 30°, ∠DCO₁ = ∠ABO₁, CO₁ = CD = AB = BO₁, ∆ABO₁ = ∆DCO₁ — первый признак, A₁O = O₁D.
5) ∆AO₁D равнобедренный: ∠DA O₁ = 90° — 75° = 15°, ∠AD O₁ = ∠DA O₁ = 15°. Точки O и O₁ совпадают.

Полное пошаговое решение:

Дано: квадрат ABCD, ∠OAD = ∠ODA = 15°.
Доказать: ∆BOC — равносторонний.

Решение:
1) Отметим точку O₁ так, чтобы ∆BO₁C был равносторонним. Для этого проведем биссектрису угла BOC, тогда BO₁ = CO₁ = BC, а ∠CBO₁ = ∠BCO₁ = 60°.

2) Рассмотрим квадрат ABCD. Так как ABCD — квадрат, то ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°, и AB = BC = CD = DA.

3) В треугольнике ABO₁:
— BO₁ = BC = AB (так как ∆BO₁C — равносторонний)
— ∠ABO₁ = 90° — 60° = 30° (так как ∠CBO₁ = 60°)
— ∆ABO₁ — равнобедренный, так как ∠BAO₁ = ∠BO₁A
— ∠BA O₁ + ∠BO₁A + ∠ABO₁ = 180°
— ∠BA O₁ + ∠BAO₁ + 30° = 180°
— 2∠BAO₁ = 150°, ∠BAO₁ = 75°

4) Рассмотрим ∆ABO₁ и ∆DCO₁:
— ∠DCO₁ = 90° — 60° = 30° (так как ∠CBO₁ = 60°)
— ∠DCO₁ = ∠ABO₁ = 30°
— CO₁ = CD = AB = BO₁ (так как ABCD — квадрат)
— ∆ABO₁ = ∆DCO₁ (по первому признаку равенства треугольников)
— A₁O = O₁D

5) ∆AO₁D — равнобедренный:
— ∠DA O₁ = 90° — 75° = 15°
— ∠AD O₁ = ∠DA O₁ = 15°
— Точки O и O₁ совпадают.

Таким образом, мы доказали, что ∆BOC — равносторонний.