ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 185 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отметили точки М и Е так, что углы ВАМ и МАЕ равны. Докажите, что \(АЕ = ВМ + DE\).

Краткий ответ:

1) Отметим точку M₁ так, чтобы DM₁ = BM.
2) Рассмотрим квадрат ABCD: \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°\), AB = AD.
3) Рассмотрим \(\Delta ABM\) и \(\Delta ADM₁\): \(\angle ABM = \angle ADM₁ = 90°\), \(\Delta ABM = \Delta ADM₁ — \) два катета; \(\angle DAM₁ = \angle BAM\).
4) В прямоугольном \(\Delta ADM₁\): \(\angle DAM₁ + \angle AM₁D = 90°\), \(\angle AM₁D = 90° — \angle BAM\).
5) В треугольнике \(\Delta AEM₁\): \(\angle EAD = 90° — 2\angle BAM — \angle MAE\), \(\angle EAD = 90° — 2\angle BAM\), \(\angle EAM₁ = \angle EAD + \angle DAM₁\), \(\angle EAM₁ = 90° — \angle BAM\), \(\angle AM₁E = \angle EAM₁\), \(\Delta AEM₁\) — равнобедренный, \(EM₁ = AE\).
6) Искомое равенство: \(EM₁ = DE + DM₁\), \(AE = DE + BM\).

Подробный ответ:

Решение:

Дано: квадрат ABCD, \(\angle BAM = \angle MAE\).

Доказать: \(AE = BM + DE\).

Решение:

1) Отметим точку M₁ так, чтобы \(DM₁ = BM\). Это можно сделать, так как квадрат ABCD является симметричной фигурой.

2) Рассмотрим квадрат ABCD. Так как ABCD — квадрат, то \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°\) и \(AB = AD\).

3) Рассмотрим треугольники \(\Delta ABM\) и \(\Delta ADM₁\). Так как \(\angle ABM = \angle ADM₁ = 90°\), то \(\Delta ABM = \Delta ADM₁\) — два катета. Также \(\angle DAM₁ = \angle BAM\), так как они являются вертикальными углами.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\Delta ADM₁\). Так как треугольник прямоугольный, то \(\angle DAM₁ + \angle AM₁D = 90°\). Следовательно, \(\angle AM₁D = 90° — \angle BAM\).

5) Рассмотрим треугольник \(\Delta AEM₁\). Так как \(\angle EAD = 90° — 2\angle BAM — \angle MAE\) и \(\angle EAD = 90° — 2\angle BAM\), то \(\angle EAM₁ = \angle EAD + \angle DAM₁\) и \(\angle EAM₁ = 90° — \angle BAM\). Также \(\angle AM₁E = \angle EAM₁\), так как \(\Delta AEM₁\) — равнобедренный треугольник. Следовательно, \(EM₁ = AE\).

6) Искомое равенство: \(EM₁ = DE + DM₁\) и \(AE = DE + BM\).

Таким образом, мы доказали, что \(AE = BM + DE\).

Оцени решение