ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 186 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На рисунке 54 \(AB \parallel CD\), \(AB = AE\), \(CD = CE\). Докажите, что \(BE \perp DE\).

Краткий ответ:

1) Треугольник АВЕ равнобедренный: \(\angle АВЕ = \angle АЕВ\); \(\angle АВЕ + \angle АЕВ + \angle ВАЕ = 180°\); \(\angle ВАЕ = 180° — 2\angle АЕВ\);
2) Треугольник СDЕ равнобедренный: \(\angle СDЕ = \angle СЕD\); \(\angle СDЕ + \angle СЕD + \angle DСЕ = 180°\); \(\angle DСЕ = 180° — 2\angle СЕD\);
3) Для прямых АВ и CD и секущей АС: \(\angle ВАС + 2\angle DСЕ = 180°\); \(180° — 2\angle АЕВ + 180° — 2\angle СЕD = 180°\); \(2\angle АЕВ + 2\angle СЕD = 180°\); \(\angle АЕВ + \angle СЕD = 90°\);
4) Рассмотрим угол АЕС: \(\angle АЕС = \angle АЕВ + 2\angle ВЕD + \angle СЕD\); \(180° = 90° + 2\angle ВЕD\); \(2\angle ВЕD = 90°\).

Подробный ответ:

Дано:
— Отрезки AB и CD пересекаются в точке E.
— AB || CD.
— AB = AE.
— CD = CE.

Доказать: BE ⊥ DE.

Решение:
1) Рассмотрим треугольник АВЕ. Так как AB = AE, то треугольник АВЕ является равнобедренным. Следовательно, \(\angle АВЕ = \angle АЕВ\).
2) Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(\angle АВЕ + \angle АЕВ + \angle ВАЕ = 180°\).
3) Так как треугольник АВЕ равнобедренный, то \(\angle ВАЕ = 180° — 2\angle АЕВ\).
4) Рассмотрим треугольник СDЕ. Так как CD = CE, то треугольник СDЕ также является равнобедренным. Следовательно, \(\angle СDЕ = \angle СЕD\).
5) Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(\angle СDЕ + \angle СЕD + \angle DСЕ = 180°\).
6) Так как треугольник СDЕ равнобедренный, то \(\angle DСЕ = 180° — 2\angle СЕD\).
7) Рассмотрим прямые АВ и CD, пересекающиеся секущей АС. Согласно свойству секущих, \(\angle ВАС + \angle DСЕ = 180°\).
8) Подставляя выражения для \(\angle ВАЕ\) и \(\angle DСЕ\), получаем: \(180° — 2\angle АЕВ + 180° — 2\angle СЕD = 180°\).
9) Упрощая, получаем: \(2\angle АЕВ + 2\angle СЕD = 180°\).
10) Следовательно, \(\angle АЕВ + \angle СЕD = 90°\).
11) Рассмотрим угол АЕС. Согласно теореме о сумме углов в треугольнике, \(\angle АЕС = \angle АЕВ + \angle ВЕD + \angle СЕD\).
12) Подставляя \(\angle АЕВ + \angle СЕD = 90°\), получаем: \(\angle АЕС = 90° + \angle ВЕD\).
13) Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то \(180° = 90° + \angle ВЕD\).
14) Следовательно, \(\angle ВЕD = 90°\), и BE ⊥ DE.

Оцени решение