ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 194 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника \(ABC\), равен половине периметра треугольника \(ABC\)

1) В треугольнике ABC: MN — средняя линия, \(MN = \frac{1}{2}AC\); МК — средняя линия, \(MK = \frac{1}{2}BC\); KN — средняя линия, \(KN = \frac{1}{2}AB\).
2) В треугольнике MNK: \(P_{MNK} = MN + MK + KN\), подставляя найденные значения, получаем \(P_{MNK} = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}P_{ABC}\).

Дано: в треугольнике ABC средние линии MN, MK и KN.

Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник ABC. Согласно свойству средних линий в треугольнике, средняя линия MN делит сторону BC пополам, то есть \(MN = \frac{1}{2}BC\).
2) Аналогично, средняя линия MK делит сторону AB пополам, то есть \(MK = \frac{1}{2}AB\).
3) Средняя линия KN также делит сторону AC пополам, то есть \(KN = \frac{1}{2}AC\).
4) Теперь рассмотрим треугольник MNK. Согласно свойству средних линий в треугольнике, периметр треугольника MNK равен половине периметра треугольника ABC, то есть \(P_{MNK} = \frac{1}{2}P_{ABC}\).
5) Подставляя найденные значения средних линий, получаем: \(P_{MNK} = MN + MK + KN = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(BC + AB +\)
\(+ AC) = \frac{1}{2}P_{ABC}\).

Таким образом, мы доказали, что \(P_{MNK} = \frac{1}{2}P_{ABC}\).