ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 196 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

1) В треугольнике ABC: MN — средняя линия; \(MN = \frac{1}{2}AC\); МК — средняя линия; \(MK = \frac{1}{2}BC\); KN — средняя линия; \(KN = \frac{1}{2}AB\);
2) \(\Delta AMK = \Delta BMN = \Delta CNK = \Delta MKN\): \(AM = BM = KN = \frac{1}{2}AB\), \(MK = BN = CN = \frac{1}{2}BC\), \(AK = MN = CK = \frac{1}{2}AC\);
3) Равны по третьему признаку: \(\Delta AMK = \Delta BMN = \Delta CNK = \Delta MKN\).

Дано: в треугольнике ABC средними линиями являются MN, MK и KN.

Доказать: \(\Delta AMK = \Delta BMN = \Delta CNK = \Delta MKN\).

Решение:
1) Рассмотрим треугольник ABC. Средняя линия MN делит сторону AC пополам, поэтому \(MN = \frac{1}{2}AC\).
2) Средняя линия MK делит сторону BC пополам, поэтому \(MK = \frac{1}{2}BC\).
3) Средняя линия KN делит сторону AB пополам, поэтому \(KN = \frac{1}{2}AB\).
4) Рассмотрим треугольник AMK. Сторона AM равна половине стороны AB, то есть \(AM = \frac{1}{2}AB\).
5) Сторона MK равна половине стороны BC, то есть \(MK = \frac{1}{2}BC\).
6) Сторона AK равна половине стороны AC, то есть \(AK = \frac{1}{2}AC\).
7) Таким образом, \(\Delta AMK\) подобен \(\Delta BMN\), \(\Delta CNK\) и \(\Delta MKN\), так как их соответствующие стороны пропорциональны.
8) Следовательно, \(\Delta AMK = \Delta BMN = \Delta CNK = \Delta MKN\) по третьему признаку подобия треугольников.

Ответ: \(\Delta AMK = \Delta BMN = \Delta CNK = \Delta MKN\).