ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 198 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что средняя линия \(DE\) треугольника \(ABC\) (точки \(D\) и \(Е\) принадлежат сторонам \(AB\) и \(BC\) соответственно) и его медиана \(BM\) точкой пересечения делятся пополам.

1) В треугольнике ABC: AM = CM;
DE — средняя линия; AD = BD, BE = CE; DM — средняя линия; \(DM = \frac{1}{2}BC, DM \perp BC\);
2) В четырехугольнике DBEM:
\(DM = BE = \frac{1}{2}BC, DM \perp BE\);
DBEM — параллелограмм; BO = OM, DO = OE.

Дано:
— DE — средняя линия треугольника ABC;
— BM — медиана треугольника ABC.

Доказать:
— BO = OM;
— DO = OE.

Решение:
1) Рассмотрим треугольник ABC. Согласно свойству средней линии, DE является средней линией треугольника ABC, то есть \(DE = \frac{1}{2}AB\).
2) Медиана BM делит сторону AC треугольника ABC на два равных отрезка, то есть \(AM = MC\).
3) Так как DE является средней линией, то \(AD = DB\) и \(BE = EC\).
4) Рассмотрим четырехугольник DBEM. Так как DE является средней линией треугольника ABC, то \(DM = \frac{1}{2}BC\) и \(DM \perp BC\).
5) Четырехугольник DBEM является параллелограммом, так как противоположные стороны равны (DE = BC) и параллельны (DE || BC, DM || BE).
6) Так как DBEM является параллелограммом, то \(DM = \frac{1}{2}BE\) и \(DM \perp BE\).
7) Из свойств параллелограмма следует, что \(BO = OM\) и \(DO = OE\).

Таким образом, доказано, что \(BO = OM\) и \(DO = OE\).