ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 203 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вершинами четырехугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 см и 14 см. Определите вид четырехугольника и найдите его стороны.

Решение:
1) В треугольнике ABD: AM = BM, AL = DL; ML — средняя линия; \(ML = \frac{1}{2}BD = 4\), ML ∥ BD;
2) В треугольнике CBD: CN = BN, CK = DK; NK — средняя линия; \(NK = \frac{1}{2}BD = 4\);
3) В треугольнике ABC: AM = BM, CN = BN; MN — средняя линия; \(MN = \frac{1}{2}AC = 7\), MN ⊥ AC;
4) В треугольнике ADC: CK = DK, AL = DL; LK — средняя линия; \(LK = \frac{1}{2}AC = 7\);
5) Рассмотрим ромб ABCD: AC ⊥ BD;
6) В четырехугольнике MNKL: ML = NK, MN = LK; MNKL — параллелограмм: ML ∥ BD, MN ⊥ AC, AC ⊥ BD; ML ⊥ MN, ∠LMN = 90°; MNKL — прямоугольник.

Ответ: прямоугольник; 4 см; 7 см.

Рассмотрим задачу подробно:

Дано:
— Четырехугольник ABCD является ромбом
— AC = 14 см, BD = 8 см
— AM = BM, BN = CN
— CK = DK, AL = DL

Требуется найти: MNKL

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABD:
— AM = BM, так как ABCD — ромб
— AL = DL, так как CK = DK и AL = DL
— Средняя линия ML в треугольнике ABD равна \(ML = \frac{1}{2}BD = 4\) см, и ML ∥ BD

2) Рассмотрим треугольник CBD:
— CN = BN, так как ABCD — ромб
— CK = DK
— Средняя линия NK в треугольнике CBD равна \(NK = \frac{1}{2}BD = 4\) см

3) Рассмотрим треугольник ABC:
— AM = BM, так как ABCD — ромб
— CN = BN, так как ABCD — ромб
— Средняя линия MN в треугольнике ABC равна \(MN = \frac{1}{2}AC = 7\) см, и MN ⊥ AC

4) Рассмотрим треугольник ADC:
— CK = DK
— AL = DL
— Средняя линия LK в треугольнике ADC равна \(LK = \frac{1}{2}AC = 7\) см

5) Так как ABCD — ромб, то AC ⊥ BD.

6) В четырехугольнике MNKL:
— ML = NK
— MN = LK
— MNKL является параллелограммом, так как ML ∥ BD, MN ⊥ AC, AC ⊥ BD
— ML ⊥ MN, и ∠LMN = 90°
— Следовательно, MNKL является прямоугольником

Ответ: MNKL является прямоугольником со сторонами 4 см и 7 см.