ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 205 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.

Решение:

1) В треугольнике АВС: EF — средняя линия, AE = BE, CF = BF;
2) \(\angle\text{AA’E} = \angle\text{BB’E} = 90^\circ\), \(\angle\text{AEA’} = \angle\text{BEB’} — \text{вертикальные}\), \(\triangle\text{AA’E} = \triangle\text{ABB’} — \text{гипотенуза и угол}\), AA’ = BB’;
3) \(\angle\text{CC’F} = \angle\text{BB’F} = 90^\circ\), \(\angle\text{CFC’} = \angle\text{BFB’} — \text{вертикальные}\), \(\triangle\text{CC’F} = \triangle\text{ABB’} — \text{гипотенуза и угол}\), CC’ = BB’ = AA’.

Дано: в треугольнике ABC средняя линия EF, AA’ \(\perp\) EF, BB’ \(\perp\) EF, CC’ \(\perp\) EF.

Доказать: AA’ = BB’ = CC’.

Решение:
1) Рассмотрим треугольник ABC. Согласно свойству средней линии, EF является средней линией треугольника, поэтому \(AE = BE\) и \(CF = BF\).
2) Рассмотрим треугольники AA’E и BB’E. Так как AA’ \(\perp\) EF и BB’ \(\perp\) EF, то \(\angle\text{AA’E} = \angle\text{BB’E} = 90^\circ\). Кроме того, \(\angle\text{AEA’} = \angle\text{BEB’}\) (вертикальные углы). Таким образом, \(\triangle\text{AA’E} \cong \triangle\text{ABB’}\) по признаку «гипотенуза и угол», следовательно, \(AA’ = BB’\).
3) Рассмотрим треугольники CC’F и BB’F. Так как CC’ \(\perp\) EF и BB’ \(\perp\) EF, то \(\angle\text{CC’F} = \angle\text{BB’F} = 90^\circ\). Кроме того, \(\angle\text{CFC’} = \angle\text{BFB’}\) (вертикальные углы). Таким образом, \(\triangle\text{CC’F} \cong \triangle\text{ABB’}\) по признаку «гипотенуза и угол», следовательно, \(CC’ = BB’ = AA’\).

Вывод: в треугольнике ABC средние линии, проведенные из вершин, равны между собой, то есть \(AA’ = BB’ = CC’\).